安徽省亳州市涡阳县2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 含解析
2023~2024 春学期高二年级第二次月考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教 A版选择性必修第二册第四章~第五章，选择性必修第三册第六章第 1
节~第2节。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知
lim ¿Δ x→ 0
f
(
1
)
− f
(
1+Δ x
)
Δ x =3¿
，则
f
(
x
)
在
x=1
处的导数
f❑′
(
1
)
=¿
A．3 B．1 C．
−1
D．
−3
2．已知集合
A={−1,2,− 3,4}
，
B={−5,6,− 7,8,− 9}
，从集合
A
中选一个元素作为点
P
的横坐标，从
集合
B
中选一个元素作为点
P
的纵坐标，若点
P
落在第三或第四象限，则满足条件的点
P
有
A．8个B．10 个C．12 个D．16 个
3．已知数列
{an}
满足
a1=−1
，
an+1
(
an−1
)
+1=0
(
n∈N∗
)
，则数列
{an}
的前 9项和为
A．6 B．
9
2
C．3 D．
3
2
4．某镇政府计划从 3月1日开始植树绿化环境，第一天植树 2000 棵，以后每天植树的棵数比前一天多相
同的数量. 若该镇政府计划用 13 天（即到 3月13 日结束）植树 33800 棵，则植树节（3月12 日）这一天植
树
A．3000 棵B．3100 棵C．3200 棵D．3300 棵
5．当
x=1
时，函数
f
(
x
)
=a e x+b
x
(
x>0
)
取得最小值
2e
，则
a+b=¿
A．2 B．1 C．
−1
D．
−2
6．若数列
{an}
满足
an=an− 1+1
n❑2+n
（
n ≥ 2
且
n∈N+¿¿
），
a1=1
2
，则
a2024=¿
A．
2022
2023
B．
2023
2024
C．
2024
2025
D．
2025
2026
7．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”。甲、乙等 6名网红主播在哈尔滨
的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊 4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一
个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独 1人去某一个景点打卡游玩，
则不同游玩方法有
A．96 种B．132 种C．168 种D．204 种
8．已知函数
f
(
x
)
及其导函数
f❑′
(
x
)
的定义域均为
R
，
f
(
0
)
=0
且
f
(
x
)
+f❑′
(
x
)
>0
，则不等式
f
(
x❑2+4x −5
)
>0
的解集为
A．
(
− ∞ , −5
)
∪
(
1,+∞
)
B．
(
− ∞ , −1
)
∪
(
5,+∞
)
C．
(
−5,1
)
D．
(
−1,5
)
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．若 7个正数成等差数列，且这 7个数的和为 5，则此等差数列的公差
d
可能是
A．
−5
23
B．
2
21
C．
−5
21
D．
−1
4
10．已知定义域为
[−3,5]
的函数
f
(
x
)
的导函数为
f❑′
(
x
)
，且
f❑′
(
x
)
的图象如图所示，则
A．
f
(
x
)
在
(
−2,2
)
上单调递减 B．
f
(
x
)
有极小值
f
(
2
)
C．
f
(
x
)
有2个极值点 D．
f
(
x
)
在
x=−3
处取得最大值
11．已知数列
{an}
的前
n
项和
Sn
满足
Sn=n2
(
n∈N∗
)
，记
bn=
(
an+1
)
⋅
(
1
2
)
an
，数列
{bn}
的前
n
项和为
Tn
，且
对任意的
n∈N∗
，
λ⋅3n+4
2n+
(
2n − 9
)
(
Tn−16
9
)
>0
恒成立，则
A．
an=2n− 1
B．
bn=2n⋅
(
1
2
)
❑2n− 1
C．
Tn=4
3−3n+4
3⋅4❑n
D．
λ
的取值范围是
(
1
48 ,+∞
)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．方程
2C6
x=A6
2
（
x∈N
且
x ≤ 6
）的解为
x=¿
.
13．在公比为
q
(
0<q<1
)
的等比数列
{an}
中，
Sn
为其前
n
项和，
a1+an=66
，
a2an− 1=128
(
n ≥ 2, n ∈N∗
)
，且
Sn=126
，则
q=¿
.
14．若函数
f
(
x
)
=x ex− x − ln x+a −1
有两个零点，则实数
a
的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
记
Sn
为等差数列
{an}
的前
n
项和，且
a5=14
，
S5=a23
.
（1）求
{an}
的通项公式；
（2）若
bn=❑
√
Sn−5n
，求数列
{bn}
的前
n
项和
Tn
.
16．（本小题满分 15 分）
设函数
f
(
x
)
=a x2− x − ln x
.
（1）当
a=1
时，求
f
(
x
)
的单调区间；
（2）若关于
x
的不等式
f
(
x
)
≤0
在
[e−1, e2]
上有解，求实数
a
的取值范围.
17．（本小题满分 15 分）
晚会上共有 7个节目，其中有 4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和 1个相声节目，分别按以下要求
各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前 3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
18．（本小题满分 17 分）
已知函数
f
(
x
)
=3aln x+1
2x2−
(
a+3
)
x
，
a∈R
.
（1）若曲线
y=f
(
x
)
在点
(
1, f
(
1
)
)
处的切线与直线
x+2y+11=0
垂直，求
a
的值；
（2）若
0<a<3
，且函数
f
(
x
)
的极大值与极小值的差为
4−3 ln 3
，求实数
a
的值.
19．（本小题满分 17 分）
定义：若函数
y=f
(
x
)
和
y=g
(
x
)
的图象上分别存在点
M
和
N
关于
x
轴对称，则称函数
y=f
(
x
)
和
y=g
(
x
)
具
有
C
关系.
（1）判断函数
f
(
x
)
=ex−2
和
g
(
x
)
=x
是否具有
C
关系；
（2）若函数
f
(
x
)
=x ex
和
g
(
x
)
=− k sin x
(
k>0
)
在区间
(
0, π
)
上具有
C
关系，求实数
k
的取值范围.
【参考答案】
2023~2024 春学期高二年级第二次月考
数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．D
【解析】
lim ¿Δ x→ 0
f
(
1
)
− f
(
1+Δ x
)
Δ x =−lim ¿Δ x →0
f
(
1+Δ x
)
− f
(
1
)
Δ x =3¿¿
，
f′
(
1
)
=lim ¿Δ x →0
f
(
1+Δ x
)
− f
(
1
)
Δ x =−3¿
.故选
D
.
2．C
【解析】因为点
P
在第三或第四象限，所以纵坐标只能选集合
B
中的负数，根据分步乘法计数原理，横坐
标有 4种选法，纵坐标有 3种选法，则满足条件的点
P
共有
3×4=12
个. 故选
C
.
3．B
【解析】已知
a1=−1
，
an+1
(
an−1
)
+1=0
(
n∈N∗
)
，则
an+1=1
1− an
，所以
a2=1
1− a1
=1
2
，
a3=1
1− a2
=2
，
a1=1
1− a3
=−1=a1
，所以数列
{an}
是周期为 3的数列，所以数列
{an}
的前 9项和为
3
(
a1+a2+a3
)
=9
2
.故选
B
.
4．B
【解析】由题意知，这 13 天中每天植树数量为等差数列
{an}
，则
a1=2000
，设数列
{an}
的公差为
d
，则
13 ×2000+1
2×13 ×12d=33800
，解得
d=100
，所以
a12=2000+11 ×100=3100
. 故选
B
.
5．A
【解析】
f′
(
x
)
=a ex
(
x −1
)
−b
x2
，由题意，得
{
f❑′
(
1
)
=0,
f
(
1
)
=2e ,
)
即
{
a e
(
1−1
)
−b=0,
a e+b=2e ,
)
解得
{
a=2,
b=0.
)
若
a=2
，
b=0
则
f❑′
(
x
)
=2ex
(
x− 1
)
x❑2
，当
x∈
(
0,1
)
时，
f❑′
(
x
)
<0
，
f
(
x
)
单调递减；当
x∈
(
1,+∞
)
时，
f❑′
(
x
)
>0
，
f
(
x
)
单调递增. 所以
f
(
x
)
在
x=1
处取到极小值，也是最小值，所以
a=2
，
b=0
满足要求，故
a+b=2
. 故选
A
.
6．C
【解析】因为
an− an −1=1
n❑2+n=1
n
(
n+1
)
=1
n−1
n+1
，所以
an=
(
an− an −1
)
+
(
an −1− an −2
)
+…+
(
a2−a1
)
+a1=
(
1
n−1
n+1
)
+
(
1
n− 1−1
n
)
+⋯+
(
1
2−1
3
)
+1
2=1−1
n+1=n
n+1
，所以
a2024=2024
2025
.故选
C
.
7．C
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