湖南省长沙市部分学校2023-2024学年高二下学期入学暨寒假作业检测联考数学试卷 含解析

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2024 年春季高二年级入学暨寒假作业检测联考
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
得分：______
一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.★ 命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2.已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.★ 下列各式化简结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C.84 D.672
5.★ 若 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在下列各正方体中， 为正方体的一条对角线， 、 分别为所在棱的中点，则满足 的是
（ ）
A. B. C. D.
7.直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在 数 学 和 许 多 分 支 中 都 能 见 到 很 多 以 瑞 士 数 学 家 欧 拉 命 名 的 常 数 、 公 式 和 定 理 ， 如 ： 欧 拉 函 数
的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数
只有 1），例如： ； （与 3互素有 1、2）； （与 9互素有 1、2、4、5、7、8）.
记 为数列 的前 项和，则 （ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共 3个小题，每小题 6分，满分 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.★ 设 ， ，且 ，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为 1
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数 ，则（ ）
A. 在区间 上单调递增 B. 的值域是
C. 的图象关于点 对称 D. 为偶函数
11.在正方体 中， ，点 满足 ，其中 ， ，则
下列结论正确的是（ ）
A.当 平面 时， 不可能垂直
B.若 与平面 所成角为 ，则点 的轨迹长度为
C.当 时， 的最小值为
D.当 时，正方体经过点 、 、 的截面面积的取值范围为
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分；共 15 分.
12.★ 设事件 ， 相互独立，且 ， ，则 ______.
13.已知圆锥的底面半径为 6，侧面积为 ，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为
______.
14.已知双曲线 ： ， ， 分别是双曲线的左、右焦点， 是双曲线右支上一
点，连接 交双曲线 左支于点 ，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心
率为______.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分.解答应㝍出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ， ， ， ，按照如下规律构造新数列 ：
，求数列 的前 项和.
16.★ （本小题满分 15 分）
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