长沙市周南中学2024年上学期高二年级入学考试数学试卷答案

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长沙市周南中学 2024 年上学期高二年级入学考试数学试卷
参考答案：
1.B
2.C
3.D
4.A
5.A
6.D
7.A
8.B
9.ACD
10.ABD
11.BCD
8【解析】由题意得到方程组
6ab
①和
2
2
4
9
b
a
②，即可解出
a、b
，求出短轴长．
【详解】椭圆的面积
6S ab


，即
6ab
①
因为点
P
为椭圆
C
的上项点，所以
 
0,Pb
因为直线
y kx
与椭圆
C
交于
A
，
B
两点，不妨设
 
,A m n
，则
 
,B m n
且
，所以
22
22
2
an
ma b

因为
,PA PB
的斜率之积为
4
9
，所以
4
9
n b n b
mm
 
 
，把
22
22
2
an
ma b

代入整理化简得：
2
2
4
9
b
a
②
②联立解得：
3, 2ab
．
所以椭圆
C
的短轴长为
24b
．
故选：B
11【解析】对于 A选项，
11
DD BB∥
，
在
1
Rt BB F
中
1
BB F
即为异面直线
1
DD
与
1
B F
所成的角，
1
122
1
2 2 5
5
12
BB
cos BB F BF
 
，
异面直线
1
DD
与
1
B F
所成的角的余弦值为
25
5
．故 A错误；
对于 B选项，取
11
AD
的中点
11
,M DC
的中点
N
，取
AD
的中点
S
，连接
MN
，
DM
，
1
,,DN A S SF
，
1 1 1 1
,,SF AB A B SF AB A B
1 1 1 1 1 1
A B FS AA B F A S DM MD B F
，同理可得
1
DN B E
，又
DM
面
1
B EF
，
1
BF
面
1
B EF
，
DN
面
1
B EF
，
1
BE
面
1
B EF
，
DM
面
1
B EF
，
DN
面
1
B EF
，
又
DM DN D
，
DM DN ､
面
DMN
，
面
DMN
面
1
B EF
，
{#{QQABDY4UggAgQBJAAQhCEwFaCAGQkBCAAIoOhAAAMAABiQFABAA=}#}
又
DP
面
1
B EF
，
P
面
1111 DCBA
，
P
轨迹为线段
MN
，
在
DMN
中，过
D
作
DP MN
，此时
DP
取得最小值，
在
1
Rt DD M△
中，
11DM
，
12DD
，
5DM
，
在
1
Rt DD N
中，
11DN
，
12DD
，
5DN
，
在
1
Rt MD N
中，
11DN
，
11DM
，
2MN
，
如图，在
Rt DPN△
中，
2
21 3 2
5
2 2 2
MN
DP DN 
 


．故 B项正确；
对于 C选项，过点
1
D E F、 、
的平面截正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
，
平面
11
AA D D
平面
11
BB C C
，则过点
1
D E F、 、
的平面必与
1
AA
与
1
CC
交于两点，
设过点
1
D E F、 、
的平面必与
1
AA
与
1
CC
分别交于
M
、
N
，
过点
1
D E F、 、
的平面与平面
11
AA D D
和平面
11
BB C C
分别交于
1
DM
与
FN
，
1
D M NF
，同理可得
1
D N ME
，如图过点
1
D E F、 、
的平面截正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
所得的截面图形为五边形
1
D MEFN
，
如图以
D
为原点，分别以
1
DA DC DD、 、
方向为
x
轴､
y
轴､
z
轴正方向建立空间直角坐标系
D xyz
，
设
AM m
，
CN n
，
则
 
2,0,Mm
，
 
0,2,Nn
，
 
2,1,0E
，
 
1,2,0F
，
 
10,0,2D
，
 
0,1,ME m 
，
 
10,2, 2D N n
，
 
12,0, 2D M m
，
 
1,0,NF n
，
1
D M NF
，
1
D N ME
，
22
22
mn
nm
 
 
，解得
2
3
2
3
m
n
，
2
3
AM
，
2
3
CN
，
14
3
AM
，
14
3
CN
，
在
11
Rt D AM
中，
11 2DA
，
14
3
AM
，
12 13
3
DM
，同理：
12 13
3
DN
，
在
Rt MAE△
中，
2
3
AM
，
1AE
，
13
3
ME
，同理：
13
3
FN
在
Rt EBF△
中，
1BE BF
，
2EF
，
11 2 13 13
2 2 2 2 13 2
33
D M D N ME FN EF   
，
即过点
1
D E F、 、
的平面截正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
所得的截面周长为
2 13 2
．故 C正确；
{#{QQABDY4UggAgQBJAAQhCEwFaCAGQkBCAAIoOhAAAMAABiQFABAA=}#}
对于 D选项，如图所示，取
EF
的中点
1
O
，则
1 1 1
O E O F O B
，过
1
O
作
11
OO BB∥
，
且使得
11
11
2
OO BB
，则
O
为三棱锥
1
B BEF
的外接球的球心，
所以
OE
为外接球的半径， 在
Rt EBF△
中，
2EF
，
2
2
2 2 2 2
123
1
2 2 2
EF
R OE OO 

 

 
 
2
46SR

 
球
．故 D项正确，故选：BCD．
12.【答案】
2
3
13.【答案】
7
2
14.【答案】66
纵向有 6条道路，横向有 5条道路，认为点 P路口处（画“×”的格点）四个方向均不可通行，则从
西南角 A地到东北角 B地的最短路线________条.
4 2 2
9 4 5 =66C C C
15.(1)
27
cos 7
CAD
(2)
3
（I）在
ADC
中，由余弦定理得
27
cos 7
CAD
(II)设
,BAC BAD CAD

 则
2 7 7
,
7 14
21
7
3 21
4
3
2
cos CAD cos BAD
sin CAD
sin BAD
sin
 
 


在
ABC
中，由正弦定理，
sin sin
BC AC
CBA
故
3BC
16.【详解】（1）证明：∵PA⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，以 AD 所在的直线为 y轴，建立如图所示的直角坐
{#{QQABDY4UggAgQBJAAQhCEwFaCAGQkBCAAIoOhAAAMAABiQFABAA=}#}
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