长沙市周南中学2024年上学期高二年级入学考试数学试卷答案

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长沙市周南中学 2024 年上学期高二年级入学考试数学试卷
参考答案：
1.B
2.C
3.D
4.A
5.A
6.D
7.A
8.B
9.ACD
10.ABD
11.BCD
8【解析】由题意得到方程组 ①和 ②，即可解出 a
、
b，求出短轴长．
【详解】椭圆的面积 ，即 ①
因为点 P为椭圆 C的上项点，所以
因为直线 与椭圆 C交于 A，B两点，不妨设 ，则 且 ，所以
因为 的斜率之积为 ，所以 ，把 代入整理化简得： ②
②联立解得： ．
所以椭圆 C的短轴长为 ．
故选：B
11【解析】对于 A选项， ，
在 中 即为异面直线 与 所成的角，
，
异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．故 A错误；
对于 B选项，取 的中点 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，
，同理可得
，又 面 ， 面 ， 面 ，
面 ， 面 ， 面 ，
又 ， 面 ， 面 面 ，
又 面 ， 面
A1B1C1D1
， 轨迹为线段 ，
在 中，过 作 ，此时 取得最小值，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，
如图，在 中， ．故 B项正确；
对于 C选项，过点 的平面截正方体 ，
平面 平面 ，则过点 的平面必与 与 交于两点，
设过点 的平面必与 与 分别交于 、 ，
过点 的平面与平面 和平面 分别交于 与 ， ，同理可得
，如图过点 的平面截正方体 所得的截面图形为五边形 ，
如图以 为原点，分别以 方向为 轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系 ，
设 ， ，
则 ， ， ， ， ，
， ， ，
， ， ，
，解得 ， ， ， ，
， 在 中， ， ， ，同理： ，
在 中， ， ， ，同理：
在 中， ， ，
，
即过点 的平面截正方体 所得的截面周长为 ．故 C正确；
对于 D选项，如图所示，取 的中点 ，则 ，过 作 ，
且使得 ，则 为三棱锥 的外接球的球心，
所以 为外接球的半径， 在 中， ，
．故 D项正确，故选：BCD．
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】66
纵向有 6条道路，横向有 5条道路，认为点 P路口处（画“×”的格点）四个方向均不可通行，则从
西南角 A地到东北角 B地的最短路线________条.
15.(1) (2)
（I）在 中，由余弦定理得
(II)设
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