湖南省长沙外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题答案

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第1页 共 7页
长沙外国语学校 2024 年上学期高二年级 3月月考
数学答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
D
D
A
B
A
二、选择题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
题号
9
10
11
答案
ACD
AD
BCD
6．A
【分析】根据圆柱体积和圆锥体积的计算公式，结合已知条件，求解即可.
【详解】圆柱的体积为
2
π 3 6 54π  
，圆锥的体积为
2
1π 3 3 9π
3 
，
设液体上方圆锥的底面圆半径为
r
，高为
h
，
作出圆锥的轴截面示意图如下所示：
则
3 1 2h  
，
，解得
2r
；
故液体上方圆锥的体积为
2
1π 2
3r 
8π
3
，
所以瓶子中水的体积为
8π 181π
54π 9π 3 3
 
.
故选：A.
7. B
【分析】计算
 
10000π
的值，即可得解.
【详解】因为
 
10000 10000
10000 2500lg 2500 0.43 1075
ln10000 4 ln10
π e  
，
所以，估计
10000
以内的素数个数为
1075
.
{#{QQABLQKEggCgQIAAARhCEQWACgCQkBEACAoGBAAEMAAACBNABAA=}#}
第2页 共 7页
故选：B.
8. A
【分析】根据题意，分 2步进行分析：①将6本不同的书籍分为 3组，每组至少 1本，②将《西游
记》所在的组分发给了甲，剩下 2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分 2步进行分析：
①将6本不同的书籍分为 3组，每组至少 1本，
若分为 4、1、1的三组，有
4
6
C 15
种分组方法，
若分为 3，2，1的三组，有
3 2
6 3
C C 60
种分组方法，
若分为 2，2，2的三组，有
222
6 4 2
3
3
CCC 15
A
种分组方法，
共有
15 60 15 90  
种分组方法，
②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下 2组任意分配，有 2种情况，
则有
90 2 180 
种分发方式．
故选：A．
11.BCD
【分析】利用累加法，分别求出
,
n n
a b
，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个选项进行判断即可
得到答案.
【详解】三角形数构成数列
 
n
a
：1，3，6，10，…，则有
 
2 1 3 2 1
2, 3, , 2
n n
a a a a a a n n
 
，利用累加法，
得
1
( 1)(2 )
2
n
n n
a a  
 
，得到
( 1)
2
n
n n
a
；n=1 成立
正方形数构成数列
 
n
b
：1，4，9，16，…，则有
 
2 1 3 2 1
3, 5, , 2 1 2
n n
b b b b b b n n
 
，利用累加法，
得
1
(2 2)( 1)
2
n
n n
b b  
 
，得到
2
n
b n
,n=1 成立
对于 A，
1 2 1 1
2( )
( 1) 1
n
a n n n n
 
 
，
利用裂项求和法：
1 2 3
1 1 1 1 1 2
2(1 )
1 1
n
n
a a a a n n
 
 
，
故A错误；
对于 B，令
2
1225
2
n
n n
a
 
，解得
49n
；令
21225
n
b n 
，解得
35n
；故 B正确；
{#{QQABLQKEggCgQIAAARhCEQWACgCQkBEACAoGBAAEMAAACBNABAA=}#}
第3页 共 7页
对于 C，
2 2
1 1 4 1 1
2( )
4 1 2 1 2 1
n
b n n n n
 
 
，则
2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1
1 ( )
4 3
n
b b b b n
    
5 1 1 1 1 1 1
2( )
4 5 7 7 9 2 1 2 1n n
 
 
，
整理得，
1 2 3
1 1 1 1 5 1 1 33 1 33
2( )
4 5 2 1 20 2 1 20
n
b b b b n n
 
 
，故 C正确；
对于 D，取
m p q 
，且
*
Nm
，则令
2( 1) ( 1)
2 2
m m m m
m 
 
，则有
1m m m
b a a
 
，故
*
N ,m m 2
，
总存在
*
, Np q
，使得
m p q
b a a 
成立，故 D正确；
故选：BCD
对D，
 
 
3, 0, 0 , 0, 1,1DA DE
 
 
，设平面 ADE 的法向量为
 
, ,n a b c
，则
3 0
0
n DA a
n DE b c
 
 
，
取b=1，则
 
0,1,1n
，
 
 
1 1 0, 0, 2 3,1 2 , 2 3,1 2 , 2 2A P A A AP y x y x
 
   
，所以
 
11 2 2 2 2 1A P y x xn y
 
，由
1
2
x y 
可知，
10A Pn
 
 
，则
1
n A P
，而
1
A P
平面
ADE
，
所以
1
A P
∥平面
ADE
.故正确.
故选：BD.
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12. 213. 5
214.
1
2
；
1
3
14.【分析】分析出：若奖品在 3号箱里，主持人只能打开 2、4号箱，可求得
 
2 3
P B A∣
的值；求得
 
11, 2,3, 4
4
i
P A i 
，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出
 
 
21, 2,3, 4
i
P B A i
的值，再利用全
概率公式可求得
 
2
P B
的值.
【详解】若奖品在 3号箱里，主持人只能打开 2、4号箱，故
 
2 3
1
2
P B A ∣
；
奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此
1
A
、
2
A
、
3
A
、
4
A
的概率均为
1
4
，
奖品在
1
号箱里，主持人可打开
2
、
3
、
4
号箱，故
 
2 1
1
3
P B A
，
奖品在
2
号箱里，主持人打开
2
号箱的概率为
0
，故
 
2 2 0P B A
，
奖品在
3
号箱里，主持人只能打开
2
、
4
号箱，故
 
2 3
1
2
P B A
，
{#{QQABLQKEggCgQIAAARhCEQWACgCQkBEACAoGBAAEMAAACBNABAA=}#}
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