湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考试卷（五）数学 含解析

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大联考长郡中学 2024 届高三月考试卷（五）
数 学
命题人：曾卫国 审题人：廖喜全 孔令然
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1.若
i
为虚数单位，则
 
2 i 1 i 
的虚部为（ ）
A.
i
B.1 C.
i
D.-1
2.若集合
 
2
log 1 , { 1}A x x B x x  ∣ ∣
，则
A B 
R
ð
（ ）
A.
{ 0 1}x x ∣
B.
{ 1 2}x x  ∣
C.
{ 1 0x x  ∣
或
D.
{ 2}x x ∣
3.已知不共线的两个非零向量
,a b
，则“
a b
与
a b
所成角为锐角”是“
a b
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.要得到函数
 
π
cos 2 3
g x x
 
 
 
 
的图象，可以将函数
 
π
sin 2 6
f x x
 
 
 
 
的图象（ ）
A.向右平移
π
3
个单位长度 B.向左平移
π
3
个单位长度
C.向右平移
π
6
个单位长度 D.向左平移
π
6
个单位长度
5.已知
   
4 2
2 3, 0,
, 0,
x x x
f x g x x
 
若
 
f x
为
 
,0 0,
 
 
上的奇函数，
 
0( 0)g a a 
，则
a
（ ）
A.
6
2
B.
3
2
C.
6
2
D.-1
6.已知双曲线
2 2
2 2
: 1( 0, 0)
x y
C a b
a b
 
的左､右顶点分别为
1 2
, ,A A F
为
C
的右焦点，
C
的离心率为 2，若
P
为
C
右支上一点，
2
PF FA
，记
1 2
π
02
A PA
 
 
 
 
 
，则
tan
（ ）
A.
1
2
B.1 C.
3
D.2
7.已知二面角
l
 
 
的平面角为
π
0 , , , , , ,
2A B C l D l AB l AB
   
 
 
 
 
与平面
所成角为
π
3
.记
ACD
的面积为
1,S BCD
的面积为
2
S
，则
1
2
S
S
的取值范围为（ ）
A.
1,1
2
 
 
B.
1, 3
2
 
 
C.
3, 3
2
 
 
D.
3,1
2
 
 
8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有
 
*
5nN
根绳子，共有 10 个绳头，每个
绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这 5根绳子恰好能围成一个圈的概
率为（ ）
A.
64
315
B.
256
315
C.
32
315
D.
128
315
二､多选题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.）
9.下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A.两个变量
,x y
的相关系数为
r
，则
r
越小，
x
与
y
之间的相关性越弱
B.设随机变量
 
2,1N
，若
( 3)p p
 
，则
1
(1 2) 2
p p
 
C.在回归分析中，
2
R
为0.89 的模型比
2
R
为0.98 的模型拟合得更好
D.某人解答 10 个问题，答对题数为
 
, 10,0.8X X B
，则
10.已知等比数列
 
n
a
的公比为
( 0)q q
，前
n
项积为
n
T
，若
7 6 8
T T T 
，则（ ）
A.
0 1q 
B.
1q
C.
13 14
1T T 
D.
14 15
1T T 
11.已知定义在
R
上的函数
 
f x
满足
 
2 2024f x f x f 
，且
 
2 1f x
是奇函数，则（ ）
A.
 
f x
的图象关于点
 
1,0
对称
B.
   
0 4f f
C.
 
2 1f
D.若
1 1
2 2
f
 
 
，则
100
1
1
0
2
i
if i
 
 
 
 
12.
,D E
是
ABC
边
BC
上的点，其中
, 3BAD CAE BC
 
 
，且
1
3
BD BE
CD CE
.则
ABC
面积的可能取
值为（ ）
A.
9 3
4
B.
3 3
2
C.
3 3
D.
7 3
2
三､填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.）
13.
5
(1 2 )x
的展开式中
4
x
的系数是__________.（用数字作答）.
14.函数
 
sin 2f x x x x  
的图象在
π
2
x
处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为__________.
15.四棱锥
P ABCD
的底面
ABCD
是平行四边形，点
,E F
分别为
,PC AD
的中点，平面
BEF
将四棱锥
P ABCD
分成两部分的体积分别为
1 2
,V V
，且满足
1 2
V V
，则
1
2
V
V
__________.
16.已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
 
的左､右焦点分别为
1 2
,F F
，离心率为
e
，点
P
在椭圆上，连接
1
PF
并
延长交
C
于点
Q
，连接
2
QF
，若存在点
P
使
2
PQ QF
成立，则
2
e
的取值范围为__________.
四､解答题（本大题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 10 分）
已知数列
 
n
a
是等差数列，其前
n
项和为
n
S
，且
2 4 7
2 13, 49a a S 
.
（1）求
 
n
a
的通项公式；
（2）设
2n
a
n n
b a 
，求数列
 
n
b
的前
n
项和
n
T
.
18.（本小题满分 12 分）
如图，在三棱锥
P ABC
中，
PA
平面
, 1, 3ABC PA AB BC PC 
.
（1）求证：
BC
平面
PAB
；
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