湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题 含解析

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雅礼中学 2024 年上学期入学考试
数学试题
命题人：李云皇 审题：高二数学备课组
一 选择题：本题共､8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.“ 为锐角”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.直线 是双曲线 的一条渐近线，则实数 的值为（ ）
A. B.3 C. D.
3.《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其
关，要见次日行里数，请公仔细算相还.，其意思为有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，
每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了多少里？（ ）
A.96 B.48 C.192 D.24
4. 展开式中 的系数为（ ）
A.10 B.24 C.32 D.56
5.甲 乙 丙等､ ､ 5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 2人，则不同排法共有（ ）
A.20 种 B.16 种 C.12 种 D.8 种
6.若平面上两点 ，则过点 的直线 上满足 的点 的个数为（
）
A.0 B.1 C.2 D.与直线 的斜率有关
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线上一点，且
.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共､3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知函数 ，则（ ）
A.
B. 在区间 上只有 个零点
C. 的最小正周期为
D. 为 图象的一条对称轴
10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：
.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为､ ､ 0.4
和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为 0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐
厅的概率为 0.5，则王同学（ ）
A.第二天去甲餐厅的概率为 0.54
B.第二天去乙餐厅的概率为 0.44
C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
11.已知函数 的定义域为 ，对任意的 ，恒有 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
三 填空题：本题共､3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.袋中装有标号为 的 3个大小与质地相同的小球，从中任取 1个，记下它的号码后放回袋中，这样连续
做三次.若抽到各球的机会均等，记事件 表示“三次抽到的号码之和为 6”，事件 表示“三次抽到的号码
都是 2”，则 __________.
13.已知圆 经过抛物线 的焦点，则抛物线 的准线与圆 相交所得弦
长是__________.
14.已知过点 不可能作曲线 的切线.对于满足上述条件的任意的 ，函数
恒有两个不同的极值点，则 的最大值为__________.
四解答题：本题共､5小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤､.
15.（本小题 13 分）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，如果函数 在定义域内单调递增，求实数 的取值范围.
16.（本小题 15 分）在 中，内角 的对边分别为 ，且
（1）求角 的大小；
（2） 是 的角平分线，若 ，求 的面积.
17.（本小题 15 分）如图，四棱锥 的底面是平行四边形， ，
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