湖南省长沙市麓共体2023-2024学年高二下学期第一次学情检测试题 数学 PDF版含解析

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2023-2024-2 麓共体高二年级第一次学情检测
高 二 年级 数 学试卷
命题人：肖荣 审题人：唐强
总分：150 分 时量：120 分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是 符合题目要求的．
1．已知集合
 
1,3, 4A
，集合
 
2,3, 4,6B
，则如图中的阴影部分表示（ ）
A．
 
2,6
B．
 
1
C．
 
1, 2,3, 4,6
D．
 
3, 4
2．在等差数列
 
n
a
中，
4 8 20a a 
，
，则
4
a
（ ）
A．4 B．5 C．6 D
．
8
3．若复数
z
满足
3 2i
2 3i
z
，其中
i
为虚数单位，则
z
（ ）
A．0 B．-1 C．
13
D．1
4．已知向量
a
、
b
的夹角为
45
，且
1a
，
2 10a b 
r r
，则
b
（ ）
A
2 2
．B．
3 2
C．
2
D．
4 2
5．已知函数
 
3sin2 cos2f x x x 
，则下列结论错误的是（ ）
A
．
 
f x
的最小正周期为
π
B．
 
f x
的图象关于点
5π , 0
12
 
 
 
成中心对称
C．
 
f x
的图象关于直线
π
6
x
对称 D．
 
f x
的单调递增区间是
 
π π
π , π
3 6
k k k
 
 
 
Z
6．★式子
 
25
y
x x y
x
 
 
的展开式中，
3 3
x y
的系数为（ ）
A．
3
B．
5
C．
15
D．
20
7．已知函数
 
1 1
e 1 2
x
f x  
，则关于
t
的不等式
 
1
ln 2 ln 0f t f t
 
 
 
 
的解集为（ ）
A．
 
0,
B．
1
0, 2
 
 
 
C．
 
0,1
D．
 
1,
8．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图 1所示，这只杯盏的轴截面如图 2所示，其
中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为
4cm
，往杯盏里面放
入一个半径为
cmr
的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则
r
最大值为（ ）
A．
27
16
B．
9
4
C．
81
32
D．
27
8
{#{QQABTYCUgggoABBAAAhCQw0KCkGQkAGCCCoGBEAIMAABSRFABAA=}#}
试卷第 2页，共 4页
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．★在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有 20000 人
参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生
的成绩（成绩均为正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计，样
本容量为 n，按照
50, 60
，
60, 70
，
70,80
，
80,90
，
 
90,100
的
分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间
50, 60
内
的人数为 16．则下列结论正确的是（ ）
A．图中
0.016x
B．样本容量
1000n
C．估计该市全体学生成绩的平均分为 71 .6 分
D．该市要对成绩前 25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考
试成绩大约至少为 77.25 分
10．如图，在棱长为 2的正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
, ,M N F
分别是棱
1 1 1 1 1 1
, ,A B A D C D
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
//BF
平面
AMN
B．
1
B
到平面
AMN
的距离是
2
3
C．异面直线
BF AN、
所成角的余弦值为
2 5
5
D．平面
AMN
将正方体分成两部分的体积比为
1: 7
11．伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长
和短半轴长乘积的
π
倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆
C
的面积为
3 3π
，离
心率为
1 2
6, ,
3F F
是椭圆
C
的两个焦点，
P
为椭圆
C
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆
C
的标准方程可以为
2 2
1
9 3
x y
 
B．若
1 2
π
3
F PF 
，则
1 2 5 3
F PF
S
C．
1 2
2 1
PF PF
的最小值为
1 2
2 3
D．有且仅有一个点
P
，使得
1 2
π
2
F PF 
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．某班两位老师和 6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐 4人.若要求两位老师
分别坐在两辆车上，共有 种分配方法.
13．★若等比数列
 
n
a
的各项均为正数，且
2 6
4 2 6 2ea a a 
，则
1 2 7
ln ln lna a a  
.
14．若不等式
ln( ) ex
a ax
在
上恒成立，e是自然对数的底数，则实数
a
的取值范围
是 ．
{#{QQABTYCUgggoABBAAAhCQw0KCkGQkAGCCCoGBEAIMAABSRFABAA=}#}
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
如图，在四棱锥
P ABCD
中，
PC
平面
,ABCD ABCD
为矩形，
,M N
分
别是
,PB CD
的中点.
(1)证明：
MN
//平面
PAD
.
(2)若
2 3 6 12PC AB BC 
，求平面
AMN
与平面
ABCD
夹角的余弦值.
16．（15 分）
★在
ABC
中，角 A，
B，
C所对的边分别为 a，
b，
c，且
 
3 sin cosa b C C 
(1)求B；
(2)已知
2 3BC
，D为边
AB
上的一点，若
1BD
，
π
2
ACD 
，求
AC
的长．
17．（15 分）
党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长
的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入
结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升.下表
为某市 2014
2022 年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图 （如图 1），发现
全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
全体居民人均可支
配收入 （元）
18352
20110
22034
24153
26386
28920
30824
33803
35666
参考数据：
9 9
1 1
24.03, 133.39
i i i
i i
y x y
 
 
 
.
参考公式:对于一组数据
 
1 1 2 2
, , , , , ,
n n
u v u v u v
，其回归直线方程
ˆ
v
的斜率
和截距的最小二乘估计分别为
 
 
1
2
1
ˆ ˆ
ˆ
,
n
i i
i
n
i
i
u u v v
v u
u u
 
 
 
.
(1)设年份编号为
x
（2014 年的编号为 1，2015 年的编号为 2，依此类推），记全体居民人
均可支配收入为
y
（单位：万元），求经验回归方程
ˆ
ˆ ˆ
y bx a 
（结果精确到 0.01 ；
(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从 2014
2022 中任取 2年
的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过 3万的年数记为
X
，求随机变量
X
的分布
列与数学期望.
{#{QQABTYCUgggoABBAAAhCQw0KCkGQkAGCCCoGBEAIMAABSRFABAA=}#}
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