湖南省长沙市第一中学2024届高三新改革适应性训练一数学试题（九省联考题型） 含解析

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湖南 2024 年高三数学新改革适应性
训练一
（九省联考题型）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题 5分）现有随机选出的 20 个数据，统计如下，则（）
7243954616673828282
879195898102102108114120
A．该组数据的众数为 102 B．该组数据的极差为 112
C．该组数据的中位数为 87 D．该组数据的 80%分位数为 102
2．（本题 5分）已知椭圆
x2
a2+y2
2=1
（
a>❑
√
2
）的两焦点分别为
F1
、
F2
．若椭圆上有
一点 P，使
∠F1P F2=120∘
，则
△P F1F2
的面积为（）
A．
❑
√
3
2
B．
C．
2❑
√
3
D．
4❑
√
3
3
3．（本题 5分）已知正项等比数列
{
an
)
的前 n项和为
Sn
．若
a6
2−4a4
2−3a4a6=0, S4=15
，则
S2023=¿
（）
A．
22023 −1
B．
22022 −1
C．
22023
D．
22022
4．（本题 5分）已知
m
，
n
是两条不同的直线，
α
，
β
是两个不同的平面，下列说法正
确的是（）
A．若
m/¿n
，且
n⊂α
，则
m/¿α
B．若
m⊥n
，且
n⊂α
，则
m⊥α
C．若
m/¿α
，且
m/¿β
，则
α/¿β
D．若
m⊥α
，且
m⊥β
，则
α/¿β
5．（本题 5分）设集合
A={a , b , c }
，其中
a , b , c
为自然数且
a+b+c=100
，则符合
条件的集合 A的个数为（）
A．833 B．884 C．5050 D．5151
6．（本题 5分）在平面直角坐标系
xOy
中，设
A
(
1,0
)
，
B
(
3,4
)
，
C
(
1
2,− 1
)
，动点
P
满
足
⃗
PA ⋅
⃗
PB=−1
，则
tan∠PCA
最大值为（）
A．
2❑
√
21
21
B．
4❑
√
29
29
C．
❑
√
3
3
D．
❑
√
2
2
7．（本题 5分）如图，在
△ABC
中，D是BC 的中点，E是AC 上的点，
AC=2AB
，
CD=1
，
AE=3EC
，
∠ADB=∠EDC=α
，则
cos α=¿
（）

A．
❑
√
3
2
B．
❑
√
3
3
C．
2
3
D．
3
4
8．（本题 5分）已知直线
l
：
y=kx+m
与椭圆
C
：
x2
5+y2
4=1
至多有一个公共点，则
z=❑
√
10
2k+m
的取值范围是（）
A．
[
−2,2
)
B．
(
− ∞ , −2
)
∪
[
2,+∞
)
C．
[
−❑
√
2,❑
√
2
)
D．
(
− ∞ , −❑
√
2
)
∪
[
❑
√
2,+∞
)
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．（本题 6分）下列说法正确的是（）
A．正切函数是周期函数，最小正周期为 π
B．正切函数的图象是不连续的
C．直线
x=kπ+π
2
(
k∈Z
)
是正切曲线的渐近线
D．把
y=tan x , x ∈(−π
2,π
2¿
的图象向左、右平行移动
kπ
个单位，就得到
y=tan x
(x∈R, x ≠ k π+π
2)
的图象
10．（本题 6分）已知复数
z1
，
z2
在复平面上对应的点分别为 A，B，且 O为复平面原
点若．
z1=❑
√
3
2+1
2i
（i为虚数单位），向量
⃗
OA
绕原点逆时针方向旋转 90°，且模伸长
为原来的 2倍后与向量
⃗
OB
重合，则（）
A．
z2
的虚部为
❑
√
3
2
B．点 B在第二象限
C．
|
z1+z2
)
=❑
√
2
D．
|
z2
z1
)
=2
11．（本题 6分）已知定义域为
R
的函数
f
(
x
)
，满足
f
(
x+y
)
=f
(
x
)
f
(
y
)
− f
(
2− x
)
f
(
2− y
)
，且
f
(
0
)
≠0
，
f
(
−2
)
=0
，则（ ）
A．
f
(
2
)
=1
B．
f
(
x
)
是偶函数
C．
[
f
(
x
)
)
2+
[
f
(
2+x
)
)
2=1
D．
∑
i=1
2023
❑f
(
i
)
=−1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．（本题 5分）若命题“
∃a<0
，
a+1
a>b
”是假命题，则实数
b
的取值范围为．
13．（本题 5分）在三棱锥
B− ACD
中，平面
ABD ⊥
平面 ACD，O是AD 的中点，若
棱长
AC=CD=AD=AB=1
，且
∠BAD=30∘
，则点 D到平面 ABC 的距离为，
点O到平面 ABC 的距离为.
14．（本题 5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数
f(x)=ax ex−ln (ax)
和
g(x)= 2 ln(x − 1)
x
图象上的动点，若对任意
a>0
，有
|
PQ
)
≥ m
恒成立，则实数 m的
最大值为．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题 13 分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组
织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，
每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
(1)从获奖学生中随机抽取 1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高
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