湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期月考（八）数学试题

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大联考长沙市一中 2024 届高三月考试卷（八）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．设集合 ， ．若 ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．已知等边 的边长为 2，点 D，E分别为 AB，BC 的中点，若 ，则 （ ）
A．B．C．D．
3．下列命题
①：若复数 z满足 ，则 ；②：若复数 z满足 ，则 ；
③：若复数 ， 满足 ，则 ；④：若复数 ，则 ．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
4．已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为 m，a，4m，b，则 等于（ ）
A．B．C．D．4
5．学校计划于 4月份其中一周的周一至周五这五天内组织高一、高二、高三年级的同学进行春季研学活动，
每天只能有一个年级参加，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的安排方案
有（ ）
A．18 种B．24 种C．30 种D．32 种
6．设 ， ， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 A，B分别为椭圆 C的左、右顶点，D是直线
上的一动点．AD 与C交于点 P（P在x轴的上方），过 A作BP 的垂线交 BP 的延长线于点 E，当
取最大值时，点 D的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为 2，高为 4，A是圆柱下底面圆
周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且 ，则点 P的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．为分析甲班学生某次数学调研测试情况，采用男生、女生分层随机抽样的方法，该样本中男生的成绩
为 ， ， ， ， ，女生的成绩为 ， ， ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A．若样本中男、女生两组成绩的平均数都为 a，则样本的平均数等于 a
B．若样本中男、女生两组成绩的中位数都为 b，则样本的中位数等于 b
C．若样本中男、女生两组成绩的第 40 百分位数都为 c，则样本的第 40 百分位数可能大于 c
D．若样本中男、女生两组成绩的方差都为 d，则样本的方差一定不小于 d
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于原点对称 B．函数 在 上单调递增
C．函数 在 上的值域为 D．函数 在 上有且仅有 3个零点
11．已知函数 ，若 恒成立，则 a，b的可能取值为（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分）
12．已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为______．
13．设抛物线 的焦点为 F，过点 的直线 l与抛物线交于 A，B两点，与 y轴的负半轴交于 C
点，已知 ，则 ______．
14．数列 中， ， ．设 是函数 （ 且
）的极值点．若 表示不超过x的最大整数，则
______．
四、解答题（本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13 分）在 中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c， ．
（1）求角C的大小；
（2）设 D为边 AB 的中点，求 的最大值．
16．（15 分）如图，在平行六面体 中， ，
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