湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期开学自主检测数学试卷 含解析

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长沙市第一中学 2023—2024 学年度高一第二学期开学自主检测
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解指对数不等式化简集合 ，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为 ，
，
所以 .
故选：A.
2. 函数 的零点一定位于下列的哪个区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．
【详解】因为函数 ,是连续单调函数，
且
，
∴函数 的零点一定位于区间 .
故选:C．
3. 已知 ,为非零向量，则“ ”是“与 夹角为锐角”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】根据向量数量积的定义式可知，若 ，则 与 夹角为锐角或零角，若 与 夹角为锐角，
则一定有 ，所以“ ”是“ 与 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选 B.
4. 已知函数 的图象如图所示，则 可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由图象得到 的定义域、奇偶性与单调性，再结合指数函数的性质，逐一分析各选项即可
得解.
【详解】由图象可知， 是定义在 上的奇函数，则 ，
同时， 在 上先增后减，
对于 A， ， ，不满足题意，故 A错误；
对于 B，当 时， ，即 ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，故 B错误；
对于 C，显然， 在 处无意义，故 C错误；
对于 D， 的定义域为 ，
又 ，则 是奇函数，
经检验， 的单调性也满足题意，故 D正确.
故选：D.
5. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.
【详解】
所以 .
故选：C.
6. 已知 ， ，则 （ ）
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