湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期月考（七）数学试题 含解析

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长沙市一中 2024 届高三月考试卷（七）
数学试卷
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．样本数据 15、13、12、31、29、23、43、19、17、38 的中位数为（ ）
A．19 B．23 C．21 D．18
2．已知集合 ， ，则集合 的非空子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．8 D．7
3．已知实部为 3的复数 z满足 为纯虚数，则 （ ）
A．2 B．C．D．
4．已知数列 满足 ，则“ ”是“ 是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知 ，则 （ ）
A．B．2 C．1 D．
6．过抛物线 的焦点 F的直线交 E于点 A，B，交 E的准线 l于点 C， ，点 D
为垂足．若 F是AC 的中点，且 ，则 （ ）
A．4 B．C．D．3
7．已知双曲线 的左焦点为 F， 为 C上一点，且 P与F关于 C的一条
渐近线对称，则 C的离心率为（ ）
A．B．C．2 D．
8．已知函数 的定义域为 ，且满足 ， 的导函数为 ，函数
的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．3 B．C．1 D．
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A．函数 关于原点对称
B．曲线 的对称轴为 ，
C． 在区间 单调递减
D．曲线 在点 处的切线方程为
10．已知二面角 A—CD—B的大小为 ， ， ，且 ， ，则（
）
A． 是钝角三角形 B．异面直线 AD 与BC 可能垂直
C．线段 AB 长度的取值范围是 D．四面体 A—BCD 体积的最大值为
11．甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得 1
分，答题继续；若回答错误，得 0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确
的概率分别是 和 ，且第 1题的顺序由抛掷硬币决定．设第 i次答题者是甲的概率为 ，第 i次回答问
题结束后中甲的得分是 ，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12． 的展开式中 的系数为______．
13．已知动点 P在圆 上，动点 Q在曲线 上．若对任意的 ，
恒成立，则 n的最大值是______．
14．已知正六棱锥的高是底面边长的 倍，侧棱长为 ，正六棱柱内接于正六棱锥，即正六棱柱的
所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上，则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．盒中有形状、大小均相同的卡片 6张，卡片依次标记数字 1，2，2，3，3，3．
（1）若随机一次取出两张卡片，求这两张卡片标记数字之差为 1的概率；
（2）若每次随机取出两张卡片后不放回，直到将所有标记数字为 2的卡片全部取出，记此时盒中剩余的卡
片数量X，求 X的分布列和 ．
16．如图三棱锥 P—ABC 中， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）若平面平面 ， ，求二面角 A—PB—C的余弦值．
17．已知定义在 上的函数 ．
（1）求 的极大值点；
（2）证明：对任意 ， ．
18．已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，其右焦点为 F，且
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