湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期开学自主检测数学试题 含解析

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长沙市第一中学 2023—2024 学年度第二学期开学自主检测
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
得分__________
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数 在 单调递增，解对数不等式，再结合交集的概念即可.
【详解】∵ 在 单调递增，
∴ ，则 .
故选：C.
2. 在复平面内，复数 对应的点在第一象限， 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解.
【详解】由于复数 对应的点在第一象限，可设 ，其中 ， ，则 ，
所以 ， ，复数 对应的点 位于第二象限.
故选：B
3. 在四边形 中， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】推出四边形 为平行四边形，且 ，且 平分 ，得到四边形
为菱形，且 ， 为等边三角形， ，利用 ，两边平方得到
.
【详解】因为 ，所以 且 ，
故四边形
为
平行四边形，
设 都是单位向量，且 ，
两边平方得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
故 ，
又 均为单位向量，故 ，
即 ，且 平分 ，
故四边形 为菱形，且 ，
故 为等边三角形， ，
，两边平方得
，
故.
故选：A
4. 设 ， 为任意两个事件，且 ， ，则下列选项必成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设有 ，根据条件概率公式有 ，结合 ，即
可得答案.
【详解】由 ，则 ，故 ，
而 ，则 ，又 ，
所以 .
故选：D
5. 动点 到定点 的距离与 到定直线 ： 的距离的比等于 ，则动点 的轨迹
方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据距离公式即可化简求解.
【详解】根据题意可得 ，平方化简可得 ，
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