湖南省长沙市2024年新高考适应性考试 数学答案

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数学参考答案第 1页（共 6页）
长沙市 2024 年新高考适应性考试
数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
C
D
A
A
B
ACD
BC
ACD
BCD
5．解析 若从甲盒中抽到黄球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为
1
2 2 4
5 4 20
p  
；若从甲盒中
抽到红球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为
2
3 3 9
5 4 20
p 
．因此，从乙盒中抽到的红球的概率为
1 2
4 9 13
20 20 20
p p 
．
6．解 析 由 已 知 得
2
2 tan 4(1 tan ) 0
1 tan
1 tan
 
 
， 即
2
2tan 5tan 2 0
 
 
（
tan 1
 
） ， 则
25
1 tan tan
2
 
 
．从而
．
7．解析 易知
lne AB
xx a 
，且
(0, )a 
．由
'( ) ex
f x
，
1
'( )g x x
，可得
1exA
k a 
，
2
1 1
ea
B
kx
 
，
则
1 2 ea
a
k k
．
设
( ) ex
x
h x
，则
1
'( ) ex
x
h x
，可得
( )h x
在
(0,1)
单调递增，在
(1, )
单调递减，有
max
1
( ) (1) e
h x h 
，
即
1 2
k k
的最大值为
1
e
．
8．解析 如图，可知
1 1 1
( ) [( ) ( ) ( )
2 2 2
EF EB EC EA AB ED DC AB DC  
uuur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur
．
由
2
1( )
2
EF AB AB AB DC  
uuur uuur uuur uuur uuur
，即
1
2 4
2AB DC  
uuur uuur
，可得
4AB DC 
uuur uuur
．从而，
2 2 2
2 2
1 1 21
| | ( ) ( 2 )
4 4 4
EF EF AB DC AB AB DC DC  
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
，即
21
| | 2
EF
uuur
．
10．解析 由
1
2
a c d
a c d
 
 
，解得
1 2
2
d d
a
，
2 1
2
d d
c
，则轨道的焦距为
2 1
d d
，离心率为
2 1
2 1
d d
c
a d d
，
轨道的短轴长为
2 2
1 2
2 2a c d d 
．又
1
2 1 2
1 1
2 1
2 2
12
1
1 1
d
d d d
d d
d d
d d
 
 
，则
1
2
d
d
越大时，离心率越小，则轨
道越圆．
{#{QQABKQYAogAgAgAAAQgCQwGaCkKQkBGAACoGQEAEsAAACQFABAA=}#}
数学参考答案第 2页（共 6页）
11．解析 当点
P
与
1
D
点重合时，由
1
BB
∥
1
DD
，可知
1
BB
∥面
1
A DP
，即 A正确．
若
1
B P
面
1
A DP
，则
1 1
B P A D
，可得
1 1
B P B C
，即
1
PB C
为直角三角形，且
PC
为斜边．易知
1
B P PC
，与之矛盾，即 B错误．
当
P
不是
1
BD
的中点时，由
1
A D
∥
1
B C
，可知
1
A D
∥面
1
B CP
，又直线
m
为面
1
A DP
与面
1
B CP
的交线，
则
1
A D
∥
m
．从而，可得
m
∥面
1 1
A B CD
，即 C正确．
同上，有
1
A D
∥
m
，而
1
A D
面
1
ABD
，则
m
面
1
ABD
，即 D正确．
12．解析 若
8 12
T T
，则
2
12 9 10 11 12 10 11
8
( ) 1
Ta a a a a a
T  
，可得
10 11 1a a  
，即选项 A错误；
而
10
20 1 2 19 20 10 11
( ) 1T a a a a a a  L
，即选项 B正确．
若
11024a
，且
10
T
是数列
{ }
n
T
的唯一最大项．当
0q
时，
10 0T
，不合题意；当
0q
时，由
10 9
10 11
T T
T T
，
可得
10
11
1
1
a
a
，即
9
10
1024 1
1024 1
q
q
，解得
10
9
1 1
( )
2 2
q 
，即选项 C正确．
若
10 11 9
T T T 
，当
0q
时，
90T
，
10 0T
，满足
10 9
T T
，不合题意；当
0q
时，由
10 11
10 9
11 9
T T
T T
T T
，
可得
11 1a
，
10 1a
，
10 11 1a a
，则
10
20 1 2 20 10 11
( ) 1T a a a a a  L
，
21
21 1 2 21 11
( ) 1T a a a a  L
，…，（
10n
时，数列
{ }
n
T
单调递减），即选项 D正确．
13．【答案】
2.1
14．【答案】
(2, )
15．【答案】
[2 2 1,2 2 1] 
解析 设
( , )P x y
，将坐标代入式子
2 2 2
| | | | | | 13PA PB PC  
，可得
2 2 4 4 7 0x y x y  
，即
2 2
( 2) ( 2) 1x y  
，则点
P
的轨迹是以
(2,2)
为圆心，1为半径的圆．
依题意，两圆有公共点，则
| 1 | 2 2 1r r   
，解得
2 2 1 2 2 1r 
．
16．【答案】
27
16
解析 设球
O
的半径为
R
，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为
h
，
r
．如图，球心在正四棱锥
内时，由
2 2 2
1 1
OO O B OB 
，可得
2 2 2
( )h R r R  
，即
2 2
2 0h Rh r  
（*）．
球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式．
{#{QQABKQYAogAgAgAAAQgCQwGaCkKQkBGAACoGQEAEsAAACQFABAA=}#}
数学参考答案第 3页（共 6页）
又正四棱锥的体积为
2
1(2 ) 1
3r h
，则
23
2
rh
，代入（*）式可得
2
3
24
h
Rh
 
．通过对关于
h
的函数
( )R h
求导，即
3
1 3
'( ) 22
R h h
 
，可得函数
( )R h
在
3
(0, 3)
单调递减，在
3
( 3, )
单调递增，则
3 3
min
3
( ) ( 3) 3
4
R h R 
．从而，球
O
的体积的最小值
3
4 27
3 16
R
 
．
17．（本题满分 10 分）
解析 （1）由
1( 1) 3 2 1 ( 1) 3 3 3
n n n
n n n
a n a n n a n
a n a n a n
   
 
 
，可知数列
{ }
n
a n
是以
11 2a 
为首
项，3为公比的等比数列．............................................................................................................................5 分
（2）由（1）可知，
1
2 3n
n
a n
 
，则
1
2 3n
n
a n
 
．
从而
0 1 1 0 1 1
(2 3 1) (2 3 2) (2 3 ) 2(3 3 3 ) (1 2 )
n n
n
S n n
 
            L L L
2(1 3 ) (1 ) (1 )
3 1
1 3 2 2
nn
n n n n 
 
．.....................................................................................................10 分
18．（本题满分 12 分）
解析 （1）由
AB CD
，
BC CD
，且
AB BC B
，可得
CD
平面
ABC
，则
AC CD
．在
Rt ACD
中，根据勾股定理，
2 2 2 2
(2 3) 2 2 2AC AD CD  
．.................................................................5 分
（2）如图，过
A
点作
AO BD
于点
O
，易知
3AO
．由平面
ABD
平面
BCD
，可知
AO
平面
BCD
．
在平面
BCD
中，过
O
点作
BD
的垂线为
x
轴，以
O
为坐标原点，
,BD AO
所在直线分别为
,y z
轴，建
立空间直角坐标系，则
(0,0, 3)A
，
(0, 1,0)B
，
( 3,2,0)C
，
(0,3,0)D
，有
(0, 1, 3)AB  
，
( 3,3,0)BC
，
( 3,1,0)CD  
，
(0,3, 3)AD  
．
设平面
ABC
的法向量
1 1 1
( , , )m x y z
，则
1 1
1 1
3 0
3 3 0
m AB y z
m BC x y
 
 
 
 
，令
11z
，解得其中一个法向量
(3, 3,1)m 
；
设平面
ACD
的法向量
2 2 2
( , , )n x y z
，则
2 2
2 2
3 0
3 3 0
n CD x y
n AD y z
 
 
 
 
，令
21x
，解得其中一个法向量
(1, 3,3)n
．
从而
3 3
cos , 13
| || | 13 13
m n
m n m n
 
 
 
 
，即平面
ABC
和平面
ACD
夹角的余弦值为
3
13
．........12 分
{#{QQABKQYAogAgAgAAAQgCQwGaCkKQkBGAACoGQEAEsAAACQFABAA=}#}
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