湖南省长沙市2024届高三上学期第一次调研测试数学试题 含解析

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2024 年湖南省长沙市高三数学上学期第一次调研测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．设集合 ， ，则 的元素个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若复数 （i是虚数单位），则 （）
A．B．1 C．D．
3．已知向量 ， ， ，若 是以 为直角顶点的等腰
直角三角形，则 的面积为（）．
A．1 B．2 C．D．
4．在三角形 ABC 中，已知三边之比 ，则 的值等于（）
A．1 B．2 C．D．
5．数列 的通项公式为 ，若数列 单调递增，则 的取值范围为
A．B．C．D．
6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P（单位：
）与时间 t（单位：h）间的关系为 ，其中 ，k是正的常数.如果在前 5h消除
了 的污染物，则 15h后还剩污染物的百分数为（）
A．B．C．D．
7．设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆上一点，
， ，则椭圆离心率的取值范围为（）
A．B．
C．D．
8．已知正三棱台 的上，下底面边长分别为 2和6，侧棱长为 4，以下底面
顶点 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数 的所有零点从小到大依次记为 ，则
（）
A．B．
C．D．
10．不透明盒子里装有除颜色外完全相同的 3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出
2个小球，记事件 ：取出的两个球是一个红球一个白球，事件 ：两个球中至少一
个白球，事件 ：两个球均是红球，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
11．已知双曲线 ： 的右焦点为 F，动点 M，N在直线 ： 上，且
，线段 ， 分别交 C于P，Q两点，过 P作 的垂线，垂足为 .设
的面积为 ， 的面积为 ，则（）
A． 的最小值为 B．
C． 为定值 D． 的最小值为
12．已知 ， ，则下列结论正确的是（）
A．函数 在 上存在极大值
B． 为函数 的导函数，若方程 有两个不同实根，则实数 m
的取值范围是
C．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 a的最大值为
D．若 ，则 的最大值为
三、填空题
13．为了做好社区新疫情防控工作，需要将 5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开
展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有 种分配方法（用数字作答）；
14．在数列 中， ， ，其中 是自然对数的底数，令
，则 ．
15．已知 是正四面体 的外接球的一条直径，点 在正四面体表面上运动，
正四面体的棱长是 2，则 的取值范围为．
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