湖南省岳阳市2024届高三下学期考情信息卷数学试题 参考答案

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参考答案：
1．D
【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解.
【详解】“对任意正整数
2n
，关于
, ,x y z
的方程
n n n
x y z 
没有正整数解”的否定为：
存在正整数
2n
，关于
, ,x y z
的方程
n n n
x y z 
至少存在一组正整数解.
故选：D.
2．D
【分析】设
iz a b 
，代入条件根据复数相等求出
,a b
，进而可得 z在复平面中对应的点所
在象限.
【详解】设
iz a b 
，
则由
2 i 4 5iz z 
得
 
i2 4 iii 5a b a b 
，
整理得
，
所以
2 4
2 5
a b
a b
 
 
，解得
1
2
a
b
 
，
所以
1 2z i 
在复平面中对应的点为
()
1, 2-
，在第四象限.
故选：D.
3．C
【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式即可.
【详解】因为
2
5π π π π π
sin 2 sin 2 cos2 2cos 1
6 6 2 6 6
   
 
     
   
     
 
     
 
，
所以
5π 1 23
sin 2 1
6 25 25
 
 
 
 
.
故选：C.
4．A
【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域.
【详解】对于函数
 
1
12
x
f x  
 
 
，有
1
1 0
2
x
 
 
 
 
，可得
0
1 1
1
2 2
x
   
 
   
   
，解得
0x
，
因此，函数
 
f x
的定义域为
0,
.
故选：A.
{#{QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=}#}
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5．C
【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】一共有
3 3 3 27 
个小正方体，
其中
2
个面有颜色的小正方体有
12
个，（每条棱上有
1
个）
所以恰好抽到
2
个面有颜色的小正方体的概率为
12 4
27 9
.
故选：C
6．B
【分析】根据数列递推式推出
2 1
3
12
n
n
a a
，以及
3 2
12 2
n
n
a a
，由此即可求得答案.
【详解】由题意知正项数列
 
n
a
满足对任意正整数 n，均有
2 2 1
2
n n
a a
，
2 1 2
4
n n
a a
，
故
2
2 1 2 1 2( 1) 1 2( 2) 1 2( ) 1 1 1
3
8 8 8 8 8 2
n n
n n n n
n
n n
a a a a a a a
 
 
，
1 3 2
1 12 2 1 2( 1) 1 2 8 22 2 n
n n n
n
a a a a a
 
 
，
故
2023 2 1011 1 22 1
3033 3 111 2 331
1 2 111 12
2 , 2 2a a a a a aa
 
 
 
，
故
2
3033
1
270
2023
22
1
12
33 2
2
2
a
a
a
a
 
，
故选：B
7．A
【分析】根据直角三角形的性质可得出
4AB c
，推导出
1 2
BF F△
为等边三角形，求出
1
AF
、
2
AF
，利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】因为
2 2
F B F A 
uuur uuur
，则
2
F
为线段
AB
的中点，
因为
1 1 0F A F B 
 
，则
1 1
AF BF
，则
1 2
2 4AB F F c 
，
因为
O
为
1 2
F F
的中点，
1 2
OB F F
，则
1 2 1 2
12
2
BF BF AB c F F  
，
{#{QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=}#}
答案第 3页，共 16页
所以，
1 2
BF F△
为等边三角形，
由勾股定理可得
   
2 2
2 2
1 1 4 2 2 3AF AB BF c c c  
，
由双曲线的定义可得
1 2 2AF AF a 
，即
2 3 2 2c c a 
，
因此，该双曲线的离心率为
1 3 1
2
3 1
c
ea
 
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
a
、
c
的值，根据离心率的定义求解离心率
e
的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
a
、
c
的齐次方程，然后转化为关于
e
的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
8．B
【分析】方法一：先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系
推得
ep q  
，由此得到
 
e e
x
f x x 
，再由函数的单调性易得
 
20
3
f f
 
 
，构造函数
 
4
341 e
3
g x x x x 
与
 
4 2
3 3 21
3
h x x x x x  
，利用导数证得
 
40
3
f f
 
 
与
4 2
3 3
f f
   
   
   
，从而解出.
【详解】方法一：由
e e 0
xx  
得
e e
xx 
，由
ln e 0x x  
得
ln ex x 
，
因为方程
e e 0
xx  
的根为
p
，所以函数
ex
y
与
ey x 
的图象交点
P
的横坐标为
p
，
同理：函数
lny x
与
ey x 
的图象交点
Q
的横坐标为
q
，
因为
ex
y
与
lny x
互为反函数，所以两函数图象关于
y x
对称，
易知直线
y x
与直线
ey x 
互相垂直，所以
,P Q
两点关于直线
y x
对称，
即
,P Q
的中点
M
一定落在
y x
，亦即点
M
为
y x
与
ey x 
的交点，
联立
e
y x
y x
 
，解得
e
2
e
2
x
y
 
 
，即
e e
,
2 2
M 
 
 
 
，
所以
ep q  
，
故
 
e e e
x x
f x p q x x   
，则
 
e e
x
f x
 
，
{#{QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=}#}
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