湖南省邵阳市2023-2024学年高一上学期拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛）数学试题 含解析

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2023 年拔尖创新人才早期培养
学科知识竞赛（初赛）
（数学）试题卷
温馨提示:
1. 时量 100 分钟，满分 150 分。
2. 请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上。
3. 请你在答题卡上作答，答在本卷上无效。
一．单选题（每小题 5分，共 40 分）
1. 已知一元二次方程 有一个根为零，则 （　　）
A. 1 B. C. 1 或D. 或4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设有 ，即可求参数.
【详解】由题设 ，可得 .
故选：B
2. 如果将一组数据 5、4、6、5、4、13、5依次重复写 10 次，会得到 70 个数组成的一组新数据，关于这组
新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（　　）
A. 中位数和众数都是 5 B. 众数是 10
C. 中位数是 4 D. 中位数、平均数都是 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数的定义和性质即可求解.
【详解】将这组数据从小到大的顺序排列为 4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的那个数是 5，
每个数字重复写 10 次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是 5，
这组新数据中出现次数最多的数是 5，出现了 30 次，所以众数为 5，故 A正确，BC 错误．
平均数 ，故 D错误．
故选：A
3. 已知函数 与 图象的交点为 ， ， ，则不等式 的解
为（　　）
A. 或B. 或 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数以及二次函数的图象，即可结合图象求解.
【详解】作出 与 的大致图象如下：
由图象可知：不等式 的解集实际上就是当抛物线 的图象位于值反比例函数 的
图象上方时，所对应的自变量 的取值范围，
根据图象可以得到：
在第一象限，当 时，二次函数的值大于反比例函数的值，
在第三象限，有两部分，即当 或 时，二次函数的值大于反比例函数的值，
故选：B．
4. 已知实数 满足 且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意整理可得 ，代入运算即可.
【详解】因为 ，即 ，
可得 ，可得 或 ，即 或 ，
且 ，可得 ，所以 .
故选：A.
5. 圆 内切于正三角形 ，半径为 R，圆 与圆 及 ， 均相切，圆 的半径为 r，则 等
于（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合等边三角形的性质分析求解.
【详解】设正三角形 的边长为 ，则圆 的半径 ，
设圆 与圆 切于点 ，过点 作 ∥ ，
因为 ，则 ，
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