湖南省三湘创新发展联合体2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题 含解析

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2024 届高三 2月入学统一考试试题
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知 ，若 为纯虚数，则 （ ）
A．B．2 C．D．1
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
3．若直线 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
4．已知向量 ， ，则“ ”是“向量 与 的夹角为锐角”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．有一组样本数据由 5个连续的正整数 组成，其中 是最小值， 是最大值，若在原数据的基
础上增加两个数据 ， ，组成一组新的样本数据 ，则（ ）
A．新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数
B．新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数
C．新样本数据的方差等于原样本数据的方差
D．新样本数据的方差大于原样本数据的方差
6．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 （单位： ）可以
表示为 ，其中 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为 时耗氧量的单位数为
300，则一条鲑鱼游速为 时耗氧量的单位数为（ ）
A．100 B．900 C．1200 D．8100
7．现准备给一半径为 的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该
球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为 的圆，则制成的包装盒的容积最小为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数 的定义域为 ，若 是单调函数，且 有零点，则 的取值范围
是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知数列 的前 项和为 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若 ，则 D．若 ，则
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 中心对称
C． 的最小正周期是
D． 在 上有最大值，且最大值为
11．已知 为坐标原点， ， 为抛物线 上两点， 为 的焦点，若 到准线的距离
为2，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 周长的最小值为
B．若直线 过点 ，则直线 ， 的斜率之积为
C．若 ，则 的取值范围是
D．若 的外接圆与准线 相切，则该外接圆的面积为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．甲、乙等 7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有______种．
13．已知双曲线 的右支上有一点 ，点 关于坐标原点对称的点为 ， 为
双曲线 的左焦点，且满足 ，当时，双曲线 的离心率为______．
14．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 为棱
上靠近点 的三等分点，且 为 的角平分线，则二面角 的平面角的正切值的最小值为
______．
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