湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题 含解析

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衡阳市八中 2024 届高三第一次模拟测试
数学试卷
高三备课组
本试卷共 22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一.单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合 ，利用交集计算即可.
【详解】由 可知： ，即 ，故 ，
所以 .
故选：D.
2. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点的（ ）
A. 横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的 2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案.
【详解】因为把函数 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，就能得
到函数 的图象.
故选：B
3. 已知两个单位向量 与 的夹角为 ，若 ， ，且 ，则实数 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的条件，向量数量积的定义及运算可得结果.
【详解】因为两个单位向量 与 的夹角为 ，且 ，
所以
，
即 ，
故选：C.
4. 已知 是等比数列 的前 n项和， ， ，若关于 n的不等式 对任意的
恒成立，则实数 t的最大值为（ ）
A. 12 B. 16 C. 24 D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的前 n项和公式列出关于 和公比 q的方程，解出 ，q，即可写出 与 ，再将
不等式 化简，参变分离得 对任意的 恒成立，可构造函数，利用作
差法判断函数的最小值，求得 t的最大值，也可利用基本不等式进行求解．
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
解得 ，∴ ．∴关于 n的不等式 ，
即 ，即 对任意的 恒成立．
解法一 设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
又 ，∴当 或 时， ，∴ ．
故选:C．
解法二 由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
又 ，∴当 或 时， 取得最小值 24，故 ．
故选:C．
5. 已知直线 的倾斜角 满足 ，则 的斜率 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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