山东师范大学附属中学2025届高三上学期12月阶段性检测试题 数学 Word版含答案

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2024 年 12 月山东师大附中高三阶段性检测试题
数 学
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡 皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5
分，共 40
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要 求的。
1. 若集合 M = {x | x < 4} ，N = {x| 2x1} ，则 M N =
A.
{x0x < 2} B.
C. {x2x < 16} D.
2. 若复数 的共轭复数是
A. −2 − i B. 2 − i C. 2 + i D. −2 + i
3. 在 展开式中，x2 y4 系数为
A.
5 B. 10 C. 15 D. 20
4. 若函数 为偶函数，则 a =
A. 0 B. −1 C. 1 D. 2
5. 已知 sin α + cos α = ，则 =
A. − B. C. − D.
6. 形如 y = + c(a > 0，b > 0，c∈ R) 的函数，图象很像汉字中的“囧”字，被形象地称为“囧函数” ．
当
a = 1，b = 1，c = 0 时，该“囧函数”与函数 g (x) = ln | x | 的交点个数为
A.
2 个 B. 4 个 C. 0 个 D. 3 个
7. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为 0.2 ，0.5 ，0.3 ，现在知道他选
择 自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为 0.5 ，0.2
， 0.1 ，则这位教授迟到的概率为
A. 0.8 B.
0.5 C. 0.23 D. 0.32
8. 已知函数 f (x) = 5sin ωx +12 cos ωx (ω > 0) 在区间(0, τ )内没有零点，但有极值点，则 5cos τω +12sinτω
的 取值范围是
A. ，13] B. ，13] C.
D.
二、选择题：本题共 3
小题，每小题 6 分，共 18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分。
9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得
到
如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是
A ．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比例估计为 6%
B ．估计该地农户家庭年收入的 85% 分位数为 10 万元
C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元
D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间
10. 已知正方体 ABCD − A1B1C1D1 的棱长为 1 ，E 为棱 AA1
上一动点， CE 丄 平面 α ,则
A ．异面直线 AB1 和BC1
所成角是
B ．当点 E 与点 A1
重合时，平面 α 被正方体所截的截面形状可能为正五边形
C ．当点 E 与点 A 重合时，四面体 ECD1B1
外接球的体积为
D ．直线 CD 与平面 α 所成角的正弦值的取值范围是
11. 已知函数 f (x) = x3 − 3x2 + ax + 2 ，则
A ．当 a≤3 时，f (x) 恰有三个单调区间
B ．当a = 0 时，若 f (x) 在(−1, m) 上有最大值，则 0 < m3
C ．当 a = 0 时，过(1,0) 作曲线 y = f (x)
的切线有且只有一条
D ．当 a = 1 ，且 k < 1 时，曲线 y = f (x) 与直线 y = kx − 2 有 2 个交
点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知平面向量 a 与b 的夹角为 45O ，a 为单位向量，b = (1,1) ，则| 3a + b |= .
13. 等比数列{an } 中，a3 . a4 . a5 = 8 ， a8 = 8 ，则 a6 的值为 .
14. 正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长相等的正四棱锥
将底面粘接在一起的几何体.如图所示，正八面体 E − ABCD − F
的棱长为 2，
若点 P 为棱 AB 上的动点，则 EP + FP 的最小值为
；若点 O 为四边
形 ABCD 的中心，点 Q为此正八面体表面上的动点，且 OQ = 1 ，则动
点Q 的轨迹长度为
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13
分）
如图，在直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是直角梯
形， AB ∥CD ， AB 丄 AD
， AB = 2CD = 4
， AD = 2 .
（1）求证： CD1
∥
平面 ABB1A1 ；
B
（2）若 CD1
与平面 ABCD 所成的角为 60O ，求平面 ACD1
与平
面 ABCD 夹角的余弦值.
16.（15
分）
记△ABC 的内角 A，B，C
的对边分别是 a, b, c ，且 c = 6，b2
= a2 + 6a + 36 .
（1）求 B ；
（2）点D 在 AC 上，BD 平分上ABC
，且 BD = 4 ，求b .
17. （15 分）
为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国 I 卷，为测试学生对新高考 试
卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分 150 分），其中甲市有 10000 名学生参加
考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X 都近似服从正态分布 N(μ,σ2
) .
（1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为 97.5 分，成绩位于(97.5,130.5] 区间内的学生共有 4772 人．甲市 学
生A
的成绩为 114 分，试估计学生 A 在甲市的大致名次；
（2）在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取 500 人作为研究样本，随机变量Y 为本次考试数学成绩
C1
A
D1
A1
B1
DC
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