湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（四）数学试卷（解析版）

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长郡中学 2025 届高三月考试卷（四）
数学
本试卷共 8页.时量 120 分钟.满分 150 分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式可得集合 ，进而进行集合间的运算.
详解】由题意可得 或 ，
则 ，
，
故选：B.
2. 已知数列 是等差数列，若 ， “ ”， “ ”，则 是 的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的性质，结合充分性和必要性做出判断.
【详解】因为数列 为等差数列，
当 时，显然任意的 ，均满足 ，但不一定满足 ，
即“ ”推不出“ ”，必要性不成立；
由数列 是等差数列，设该数列的公差为 ，若 ，
则
，
即“ ”能推出“ ”，充分性成立.
因此， 是 的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知 是 的重心，过点 作一条直线与边 分别交于点 （点 与所在边的端点
均不重合），设 ，则 的最小值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用重心性质以及平面向量共线定理可得 ，再由基本不等式计算可得结果.
【详解】如图，取 中点 ，则 ，
，
三点共线， ，即 ，
，
当且仅当 时，取等号.
即 的最小值是 .
故选：B
4. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数的关系化简，再根据二倍角公式求解即可.
【详解】方法一：
，
，解得 .
故选：C.
方法二： ，
.
故选：C.
5. 已知 为数列 的前 项和，且 ，若 对任意正整数 恒成立，则实
数 的最小值为（ ）
A. 4 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 的关系，利用相减法结合等比数列的定义求解数列 的通项公式 ，从而将不等
式转化为 ，利用数列的单调性求最值即可得实数 的范围，从而得最小值.
【详解】由 ，令 ，解得 ，
当 时，由 得 ，即 ，
所以数列 是以 2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
由 ，即 恒成立，令 ，则 ，
而 ，所以 ，即数列 单调递减，故 ，
所以 ，所以 的最小值为 .
故选：D.
6. 在棱长为 4的正方体 中， 分别是棱 ， 的中点，过 作平面
，使得 ，则点 到平面 的距离是（ ）
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