湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期1月综合自主测试数学试题（解析版）

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雅礼中学 2025 届高三综合自主测试（1月）
数 学
时量：120 分钟 分值：150 分
注意事项：
1、答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 对一组数据 3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变
化的为（ ）
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】求出给定数据组的中位数、众数、平均数，举例说明判断 ABC；利用数据的波动大小判断 D.
【详解】数据由小到大排列为：1，1，2，3，3，3，4，5，5，其中位数、众数、平均数都为 3，
去掉数据 1，剩余数据的中位数、众数都不变；去掉数据 3，剩余数据的平均数不变，ABC 不是；
若任意去掉其中一个数据，剩余数据的波动性发生变化，方差一定发生变化，D是.
故选：D
2. 已知集合 ， ，若 中有 2个元素，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两集合的元素特征和 中只有 2个元素的要求，可得到关于 的不等式组，解之即得.
【详解】因为 ， ，
又 ， 中有 2个元素，
所以 中的 2个元素只能是 ，则 ，解得 .
故选：A.
3. 已知数列 是等差数列，若 、 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值法、等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.
【详解】因为数列 为等差数列，
当 时，显然任意的 、 、 ，均满足 ，但不一定满足 ，
即“ ” “ ”；
由数列 是等差数列，设该数列的公差为 ，
若 ，
，
即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 函数 在区间 上的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，再根据 判断即可.
【详解】因为 的定义域为 R，关于原点对称，且
，
所以 为偶函数，其函数图象关于 y轴对称，故排除 A，C.
因为 ，故排除 B.
故选：D.
5. 米斗是称量粮食 量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带
有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为 1斗，其形状可
近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米
（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用台体的体积公式，以及相似比性质，结合换元思想来求解即可.
【详解】设米斗的上底面边长为 ，高为 ，则米斗的下底面边长为 ，
故 ，得 ．
设米的深度为 ，半斗米所形成的正四棱台的下底面边长为 ，
则 ，则 ，
则 ，
得 ，则 ，
化简得 ．令，
则 ， ，
即 ，则 ，
故选:A．
【点睛】关键点睛：（1）根据正四棱台的结构特征求出半斗米所形成的正四棱台的下底面的边长 的表
达式；（2）换元，令，将方程化为 并配凑为 ．
6. 已知函数 （ ）在区间 上单调递增，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题知 ，进而根据题意得 在 上单调
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