湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期阶段性检测（五）数学试题（解析版）

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长沙市一中 2024—2025 学年度高三阶段性检测（五）
数学试卷
时量：120 分钟 总分：150 分
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，若 ，则 中所有元素之和为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，求出 或 ，再分类讨论由集合的互异性可求出 ，即可得
出答案.
【详解】由 得 或 ，解得： 或 ，
若 ，则 ，不符合题意；
若 ， ，从而 ，
所以 中所有元素之和为 4.
故选：C.
2. 若复数 为纯虚数 ，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算化简复数 ，根据复数的概念得 的值，从而可得复数的模长.
【详解】 ，
因为 是纯虚数，所以 ， ，所以 .
故选：D．
3. 已知 的展开式中第 3项与倒数第 3项的二项式系数之和等于 72，则该展开式中的常数项为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，列式求出 ，再求出二项展开式的通项，进而求出幂指数为 0的项即可.
【详解】依题意， ，即 ，而 n为正整数，解得 ，
则 展开式的通项公式为 ，
由 ，解得 ，
所以该展开式中的常数项为 .
故选：A.
4. 已知某种零件的尺寸（单位： ）在 内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸 服
从正态分布 ，且 ，则估计该企业生产的 2000 个该种零件中合格品的个数为
（ ）
A. 1600 B. 1400 C. 800 D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用正态分布的对称性，求出合格品的概率，即可求出结果.
【详解】解法一 因为 服从正态分布 ，且 ，所以该企业生产的该种零件
合格的概率 ，
所以估计该企业生产的 2000 个该种零件中合格品的个数为 ，
故选：A．
解法二 因为 服从正态分布 ，且 ，所以 ，所以该企业
生产的该种零件不合格的概率为 ，
所以估计该企业生产的 2000 个该种零件中合格品的个数为 ，
故选：A．
5. 已知函数 恰有一个零点 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数零点问题转化为两个函数交点个数问题，从而变成求曲线切线问题，设切点求得到切线方
程得到 的值，再由 建立不等式，求出 的取值范围.
【详解】由 可得 ，要使 恰有一个零点，
只需函数 的图像与直线 相切，
设切点坐标为 ，
由 ，可得 ，
则切线方程为 ，
即 ，
故需使 ， .
由 可得 ，解得 .
故选：A.
6. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示
的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为 6cm，高均为 9cm，若该陀
螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，要想球形材料的表面积最小，则需圆锥的顶点及圆柱的底面圆周在球面上，根据组
合体的结构特征及勾股定理列方程求解即可.
【详解】设球半径为 ，则 ，解得 ，
故该球形材料的表面积的最小值为 ，
故选：D.
7. 已知函数 与 的图象依次交于 A，B，C三点，且恒有
，则 （ ）
A 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象平移变换以及公式，可得函数的对称性，结合题意，可得答案.
【详解】由函数 的图象可由函数 的图象平移得到，
则 的图象关于点 对称，
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