湖南省郴州市2024-2025学年高三上学期12月期末考试数学试题（解析版）

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高三数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 B，根据集合的交集运算求解.
【详解】因为 ， ，
所以
故选：B
2. 设 ， 是两个平面， ， 是两条直线，若 ， ，则“ ”是“，”的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面平行的性质与判定及充分条件、必要条件的概念得解.
【详解】若 ， ，则 ,可能平行，也可能相交，故 不一定成立，
若 ，则 ， ，
故 是 ， 的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知结合向量的线性运算可得向量 ， 的坐标，再根据坐标的模长运算可得 的
值.
【详解】因为 ， ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为 ， ，则“ ”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出基本事件的总数和随机事件“ ”中含有的基本事件的个数，利用对立事件的概率公式
可求“ ”的概率.
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有 种基本事件，
设 为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为 ， ，则“ ”，
则 中共有基本事件 3种： ， ，
所以 ，故“ ”的概率为 .
故选：D.
5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为 的右支上一点， 为 的中点，
为线段 上一点，若 （ 为坐标原点），则 （ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可.
【详解】如图，连接 ，
由题意可知 ，
因为 为坐标原点， 为 的中点，
所以 ， ，
则.
故选：C
6. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ， 为
边上一点，且 ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 由 已 知 可 得 ， 可 求 ， 可 求
的面积.
【详解】因为在 中， ，又 为 边上一点，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
7. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，利用单调性可判断 的大小，构造函数
，利用单调性可判断 的大小，进而可得结论.
【详解】令 ，求导得 ，
令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 单调递增，
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