浙江省杭州市西湖高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学 含答案

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杭州市西湖高级中学 2024 年 4 月高一数学测试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.已知集合
A=
{
x∈N
|
x ≤3
}
, B=
{
−2,0,1,3,5
}
，则
A ∩ B=()
A．
{
0,3
}
B．
{
0,1,3
}
C．
{
1,3
}
D．
{
−2,1,3
}
2.若
i
为虚数单位，复数
,则
z=()
A．
−1+i
B．
−1−i
C．
1−i
D．
1+i
3.已知
⃗
a=
(
2,3
)
，2
⃗
a+
⃗
b=
(
6,2
)
，则
⃗
b=()
A．
(
2，−4
)
B．
(
−2，4
)
C．
(
2，−1
2
)
D．
(
−2，1
2
)
4. 如图，一个水平放置的三角形
ABO
的斜二测直观图是等腰直角三角形
A'B'O'
，若
B'A'
=
B'O'
=2, 那么原三角形
ABO
的周长是
()
A．
4❑
√
2+2
B．
2+2❑
√
2+2❑
√
3
C．
4❑
√
2+4
D．
4❑
√
2+8
5. 已知圆锥的母线长为 2，其侧面展开图为
π
2
的扇形，则该圆锥的底面半径为
()
A．
1
2
B．
❑
√
2
2
C．
1
D．
❑
√
2
6.已知非零向量
⃗
a
，
⃗
b
满足
|
⃗
a
|
=2
|
⃗
b
|
,且
|
⃗
a− 2
⃗
b
|
=
|
⃗
a+4
⃗
b
|
，则
⃗
a
，
⃗
b
的夹角为
()
A．
π
6
B．
2π
3
C.
π
3
D．
5π
6
7.已知函数
f
(
x
)
是定义在 R 上的奇函数，当
x>0
时，
f
(
x
)
=ax+1
,若
f
(
−3
)
=¿
8，则不等式
f
(
x
)
>1
4
的解集为
()
A．
(
− ∞，−5
12
)
∪
(
0，1
4
)
B．
(
−5
12 ，0
)
∪
(
0，1
4
)
C．
(
− ∞，−5
12
)
∪
(
1
4，+∞
)
D．
(
−5
12 ，0
)
∪
(
1
4，+∞
)
第4题
8.已知
∆ ABC
的外接圆圆心为 O，且
2
⃗
AO=
⃗
AB+
⃗
AC ,
|
⃗
OA
|
=
|
⃗
AB
|
,
则向量
⃗
AB
在向量
⃗
BC
上的投影
向量为
()
A.
1
4
⃗
BC
B．
3
4
⃗
BC
C.
−1
4
⃗
BC
D．
−3
4
⃗
BC
二、多选题：本小题共 3 题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
9. 设复数
z
在复平面内对应的点为
Z
，原点为
O
，
i
为虚数单位，则下列说法正确的是
（‡‡‡‡）
A．若
|
z
|
=1
，则
z=±1
或
z=± i
B．若点
Z
的坐标为
(
−1,1
)
，则
z
对应的点在第三象限
C．若
z=❑
√
3−2i
，则
z
的模为
7
D．若
1≤
|
z
|
≤❑
√
2
，则点
Z
的集合所构成的图形的面积为
π
10. 已知函数
f
(
x
)
=Asin
(
ωx+φ
)
(A>0, ω>0,0<φ<π)
，其部分图象如图所示，则下列关于
f
(
x
)
的结论正确的是（‡‡‡‡）‡‡
A．
f
(
x
)
=2sin
(
1
2x+π
8
)
B．
f
(
x
)
在区间
[
π ,2π
]
上单调递减
C．
f
(
x
)
的图象关于直线
x=−π
4
对称
D．
f
(
x
)
的图象向右平移
π
8
个单位长度可以得到函数
g
(
x
)
=2 sin
(
1
2x
)
图象
11. 如图，在直三棱柱
ABC − A1B1C1
中，
A A1=2
，
AB=BC=1
，
∠ABC=120°
侧面
A A1C1C
的对角线交点
O
，点
E
是侧棱 上的一个动点，下列结论正确的是（‡‡‡‡）
A．直三棱柱的侧面积是
4+2❑
√
3
B．直三棱柱的外接球表面积是
4π
C．三棱锥
E − A A1O
的体积与点
E
的位置无关
D．
AE+E C1
的最小值为
2❑
√
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 已知函数 ，则
f
(
−7
)
=¿
．
13. 已知
D
为
△ABC
的边
AC
上一点，
AD=3DC
，
AB=❑
√
14
，
第10 题
第11 题
第13 题
∠ADB=2∠DBC=π
3
，则
sin ∠ABC =¿
．
14.已知
Δ ABC
是边长为 1 的等边三角形，点 D,E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到
点 F，使的 DE=EF,则
⃗
AF ⋅
⃗
BC
的值
¿
．
四、解答题：本小题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知
i
是虚数单位，当实数
m
满足什么条件时，复数
z=
(
m2−3m
)
+
(
m2−5m+6
)
i
分别满足
下列条件？
(1)
z
为实数；
(2)
z
为虚数；
(3)
z
为纯虚数；
16. 如图，在菱形
ABCD
中，
⃗
BE=1
2
⃗
BC ,
⃗
CF=3
⃗
FD
.
(1)若
⃗
EF=x
⃗
AB+y
⃗
AD
，求
3x+2y
的值；
(2)若
|
⃗
AB
|
=6,∠BAD=60°
，求
⃗
AC ⋅
⃗
EF
.
17.如图，已知正三棱柱
ABC − A1B1C1
的底面边长为 2，侧棱长为
❑
√
3
，
D
为
BC
的中点。
（1）求三棱柱
ABC − A1B1C1
的体积和表面积；
（2）求三棱锥
D − A B1C1
的内切球半径。
18.
Δ ABC
的内角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c
，设
2bsinA=atanB
;
(1)求
B ;
(2)若
a+c=2b ,
试判断
Δ ABC
的形状。
第
16
题
第17 题
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