浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试 数学 含答案

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2023-2024 学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求。
1．已知集合 A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x25﹣x+4≥0}，则 A∩B＝（　　）
A．{1，2，3，4} B．{2，3} C．{1，4} D．{0，1，4}
2．已知（2+i）z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A．
1
5
B．
1
3
C．
❑
√
5
5
D．
❑
√
5
3
3．已知平面向量
a
→
=(2，0)
，
b
→
=(−1，1)
，且（m
a
→
− b
→
）∥（
a
→
+b
→
），则 m＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
4．已知双曲线
x2
a2−y2
b2=1(a＞0，b＞0)
左，右焦点分别为 F1（ ﹣
c，0），F2（c，0），若双曲线左支上存在点 P使得
¿P F2∨¿3
2c−2a
，则离心率的取
值范围为（　　）
A．[6，+∞）B．（1，6] C．[2，+∞）D．[4，+∞）
5．已知 2cos2θcos﹣θ＝1，θ∈（0，π），则|sinθ|＝（　　）
A．0 B．
1
2
C．
❑
√
3
2
或0 D．
❑
√
3
2
6．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当 x较大时，
1+1
2+1
3+⋯+1
x=lnx+γ
（x∈N*，常数 y＝0.557…）．利用以上公式，可以估算
1
101 +1
102 +⋯+1
300
的值为（
）
A．ln30 B．ln3 C．﹣ln3 D．﹣ln30
7．已知 α
，β∈(0，π
2)
，则“
cos (α − β)＜1
4
”是“
cosα +sinβ ＜1
4
”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知圆 C：x22﹣x+y2＝0与直线 l：y＝mx+2m（m＞0），过 l上任意一点 P向圆 C引切
线，切点为 A和B，若线段 AB 长度的最小值为
❑
√
2
，则实数 m的值为（　　）
A．
2❑
√
7
7
B．
❑
√
7
7
C．
❑
√
14
2
D．
❑
√
14
7
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
（多选）9．已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为 4.7，则（　　）
A．x＝7
B．这组数据的中位数为 4
C．若将这组数据每一个都加上 0.3，则所有新数据的平均数变为 5
D．这组数据的第 70 百分位数为 5.5
（多选）10．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a＝5，b＝6，c＝7，
下面说法正确的是（　　）
A．sinA：sinB：sinC＝5：6：7
B．cosA：cosB：cosC＝5：6：7
C．△ABC 是锐角三角形
D．△ABC 的最大内角是最小内角的 2倍
（多选）11．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2的正方形，PD⊥面
ABCD，
PD=2❑
√
3
，点 E是棱 PB 上一点（不包括端点），F是平面 PCD 内一点，则（
）
A．一定不存在点 E，使 AE∥平面 PCD
B．一定不存在点 E，使 PB⊥平面 ACE
C．以 D为球心，半径为 2的球与四棱锥的侧面 PAD 的交线长为
π
3
D．|AE|+|EF|的最小值
16
5
（多选）12．已知函数
f(x)= x
x −1− ex(x＞1)
，
g(x)= x
x −1− lnx(x＞1)
的零点分别为
x1，x2，则下列结论正确的是（　　）
A．x1＝lnx2B．
1
x1
+1
x2
=1
C．x1+x2＞4 D．x1x2＜e
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．过
P(1，❑
√
3+1)
，
Q(3，3❑
√
3+1)
两点的直线的斜率为 　 　．
14．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，
AC=2❑
√
3
，BC＝4，AA1＝8，则该直三棱柱的
外接球的表面积为 　 　．
15．已知函数
f(x)=sin (ωx+π
3)+sinωx(ω＞0)
在[0，π]上的值域为
[❑
√
3
2，❑
√
3]
，则实
数ω的取值范围是 　 　．
16．已知双曲线 C
：x2
a2−y2
b2=1(a＞0，b＞0)
的右顶点，右焦点分别为 A，F，过点 A
的直线 l与C的一条渐近线交于点 P，直线 PF 与C的一个交点为 Q，
OA
→2−(OP
→
+OF
→
)⋅OA
→
+OP
→
⋅OF
→
=0
，且
QP
→
=5FP
→
，则 C的离心率为 　 　．
四、解答题：本题共 6小题，第 17 题10 分，第 18-22 题每题 12 分，共 70 分。解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数 f（x）＝sin xcos﹣x（x∈R）；
（1）求函数
y=f(x+π
2)
的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 y＝f（x）在
[0，π
2]
上的最大值．
18．如图，在△ABC 中，已知 AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为 AC，BC 上的
两点
AN
→
=1
2AC
→
，
BM
→
=1
3BC
→
，AM，BN 相交于点 P．
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