浙江省“数海漫游”2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷答案

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数学试题第1页（共 4页）

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2024 年“数海漫游”第二次模拟考试

数学

本试卷共 4页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本

试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的 .

1. 已知 z2-z=z4

z,则|| z=

A. 0 B. 2

2C. 1 D. 6

2. 已知 AB = 2,AC = 3,BC = 4,则△ABC 的面积是

A. 3 3

4B. 3 5

4 C. 3 13

4 D. 3 15

3. 记Sn为非零数列{}

an的前 n项和，若 Sn+ 1 = 2Sn

, n∈N*,则a4

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

4. 设点 P在正四面体 ABCD 的棱 AB 上，

AB 与平面 PCD 所成角为 π

3,则AP

BP +BP

AP =

A. 4 B. 10 C. 14 D. 20

5. 已知向量 a,b 均为单位向量，则 || a- 2b

1 - ( )

a⋅b2

的最小值是

A. 1 B. 2C. 2D. 5

6. 小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第 k天早上八点以 1

k+ 1 的概率

向存钱罐中存入 100 元，

k= 1,2,3,⋯.若小明在第 4天早上七点发现自己前 3天晚上八点

时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第 2天存入了 100 元概率是

A. 1

7B. 1

5C. 1

3D. 1

{#{QQABLYqAggCgQpBAARgCAwHiCACQkAECCIoGBBAEMAAACAFABAA=}#}

数学试题第2页（共 4页）

7. 设椭圆 Γ: x2

a2+y2

b2= 1( )

a>b> 0 的弦 AB 与x轴，

y轴分别交于 C,D两点， || AC :||CD :

|| DB = 1:2:2, 若直线 AB 的斜率 k> 0,则k的取值范围是

( )

0, 2

2 B.

( )

2,1 C.

( )

0, 3

3D.

( )

3,1

8. 称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记 ℜ[ ]

S为集合 S包含的

好整点的个数 .若ℜé

êê

êù

úú

{ }

( )

x,y|

|( )

x+y2+ 3x+y<k= ℜ é

ëù

{ }

( )

x,y|| x+y≤ 43 ，则正整

数k的最小值是

A. 1976 B. 1977 C. 2023 D. 2024

二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求 . 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.

9. 设双曲线 Γ: x2+xy = 1 与直线 y= 2x+m 交于 A( )

,y1与B( )

,y2两点，则可能有

A. x1+x2> 0 B. x1x2> 0 C. y1+y2> 0 D. y1y2> 0

10. 若无穷数列{}

an由Ψ唯一确定，称递推公式 Ψ是专一的 . 则下列递推公式中专一的有

A. {}

an.an+ 1 ={}

2n- 1.2n+ 1 , n∈N*B.

{

a1=a2= 1

(an+ 2 =an+ 1 )2=an

, n∈N*

{

a2= 2

an+ 1 an=an+an+ 1

, n∈N*D.

{

an+an+ 1 = 2n

anan+ 2 = 3n, n∈N*

11. 设一组样本数据 x1

,x2

,x3

,x4

,x5满足 xi<xi+ 1 ( )

i= 1,2,3,4 ,则

A. 移去 x3，这组数据的方差增大 B. 移去 x2

,x4，组数据的方差增大

C. 移去 x2

,x3

,x4，这组数据的方差减小 D. 移去 x1

,x2

,x4

,x5，这组数据的方差减小

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.

12. 函数 f( )

x=ì

x2-a, x>a,

x- 2a, x≤a至多有个零点 .

13. 已知正方体 A1A2A3A4-A5A6A7A8的棱长为 3,取出各棱的两个三等分点，共 24 个点，对

于正方体的每个顶点 Ai，设这 24 个点中与 Ai距离最小的三个点为 Pi

, Qi

, Ri从正方体中切

去所有四面体 AiPiQiRi，

i= 1, 2, ⋯, 8,得到的几何体的外接球表面积是 .

14. 当x> 0, θ为锐角时，恒有 ln x+ ln cos θ+( )

x2+ 1 ln sin θ≤m,则m的取值范围是 .

四、解答题：本题共 5小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .

15.（13 分）

已知点 P( )

1,2 为抛物线 C: y2= 2px 与圆 O: x2+y2=r2在第一象限的交点，另一交点为 Q.

（1）求p,r;

（2）若点 R在圆 O上，直线 PR 为抛物线 C的切线，求 △PQR 的周长 .

{#{QQABLYqAggCgQpBAARgCAwHiCACQkAECCIoGBBAEMAAACAFABAA=}#}

数学试题第3页（共 4页）

16.（15 分）

小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下 1,2,3,4,5 中的某个数字 .

（1）求五张卡片上的数字都不相同的概率；

（2）证明：这五张卡片上最大的数字最可能是 5.

17.（15 分）

在正四面体 ABCD 中，点 P, Q, R分别在棱 AB, AC, AD 上（不与顶点重合），且 PQ =PR.

（1）若AQ =AR + 1,证明 : AP = 2AR + 1;

（2）求sin ∠PQR 的取值范围 .

18.（17 分）

记函数 p0( )

x=q0( )

x=x, pn( )

x=epn- 1 ( )

x, qn( )

x= ln qn- 1 ( )

x, n∈N*.

（1）证明：qn( )

pn( )

x=x,n∈N*；

（2）记qn( )

x的定义域为 Dn

, n∈N*

, p1( )

-x0+q1( )

x0= 0.若任意 x∈Dn

, pn( )

ax ≥qn( )

x0+1

+ 1，求 a的取值范围 .

{#{QQABLYqAggCgQpBAARgCAwHiCACQkAECCIoGBBAEMAAACAFABAA=}#}

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