2024年5月浙江省北斗星盟竞赛（强基）联考数学试题参考答案

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数学学科 试题 第1页(共9页)
绝密★考试结束前
浙江省北斗星盟竞赛（强基）联考
数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、填空题（每小题 8分，共计 96 分）
1．已知
0mn
，关于 x的一元二次不等式
20ax bx c+ + 
的解集为
 
x m x n
，则关于 x的一元
二次不等式
( )
2( 2 ) 0a c b x b a x a+ − + − +
的解集为_________.
答案：
11
11
xx
nm



++

2．已知向量
a
、
b
满足
，
3=b
，且
( )
32−⊥a b a
.设
a
、
b
的夹角=____________
解：设所求夹角为
.则
( )
2
0 3 2 3 2 cos
= −  = −a b a a a b
.
结合
1=a
，
3=b
，知
33
cos 2 2 6

=  =  =
a
b
.故答案为：
6
3．已知
tan 2
π3
tan 4
=−

+


，则
2π
100sin 2 4

+


的值是____________.
解：由
( )
tan 1 tan
tan tan 2
tan 1
πtan 1 3
tan 1 tan
4


−
= = = −
++

+

−

，得
2
3tan 5tan 2 0

− − =
，
解得
12a=
，或
1
tan 3
=−
.
π π π
sin 2 sin2 cos cos2 sin
4 4 4
 

+ = +


( )
22
22
2 2 2sin cos cos sin
sin2 cos2 =
22
sin cos
 
 

+−
=+ 
+

2
2
2 2tan 1 tan
=2tan 1


+−

+

，
当
12a=
时，上式
2
2
2 2 2 1 2 2
==
2 10
21

+ −

+

；
{#{QQABTYIAggAAAJJAARhCQwGSCgEQkAGCCKoGxEAEsAAAyAFABAA=}#}
数学学科 试题 第2页(共9页)
当
1
tan 3
=−
时，上式=
2
2
11
2 ( ) 1 ( )
22
33
[ ]=
1
2 10
( ) 1
3
 − + − −
−+
.
综上，
π2
sin 2 .
4 10

+=


，
故答案为 2
4．设复数
1 2 3 4
, , ,z z z z
满足
1 2 2 3 3 4 4 1
1, 4, 2, 3z z z z z z z z− = − = − = − =
，则
( )( )
1 3 2 4
z z z z−−
的最大值为
_________.
解：由题意知,四边形
ABCD
在复平面中,其边长和对角线为
1 2 2 3 3 4 4 1
1, 4, 2, 3AB z z BC z z CD z z DA z z= − = = − = = − = = − =
( ) ( )
1 3 2 4
,AC z z BD z z= − = −
根据托勒密不等式得：
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 3 2 4 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 14z z z z z z z z z z z z− − − − + − − = + =
，
故答案为 14.
5．在四面体
P ABC−
中，
2PD PA PB=+
，
5 2 3PE PB PC=+
，
23PF PC PA= − +
，设四面体
P ABC−
与四面体
P DEF−
的体积分别为
1
V
、
2
V
，则
2
1
V
V
的值为 .
解：由
2PD PA PB=+
，
2PD PA PB PA PA= + − +
，
( )
2PD PA PB PA− = −
，则
2AD AB=
；
由
5 2 3PE PB PC=+
，
5 2 3 3 3PE PB PC PB PB= + − +
，
( ) ( )
53PE PB PC PB− = −
，则
53BE BC=
；
由
23PF PC PA= − +
，
2 3 3 3PF PC PA PC PC= − + − +
，
( ) ( )
23PF PC PA PC− = −
，则
23CF CA=
；
显然四面体
PABC
与四面体
PDEF
共顶点且底面共面，则其高相同可设为
h
，
结合题意可作图如下：
在底面连接
FB
，作图如下：
由
23CF CA=
，即
2
3
AC
FC =
，则
2
3
ABC
FBC
SAC
S FC
==
，易知
1
3
FAB
FBC
S
S=
；
{#{QQABTYIAggAAAJJAARhCQwGSCgEQkAGCCKoGxEAEsAAAyAFABAA=}#}
数学学科 试题 第3页(共9页)
由
2AD AB=
，即
1
2
BD
BA =
，则
1
2
DBF
ABF
SBD
S BA
==
，易知
1
6
DBF
FBC
S
S=
；
由
53BE BC=
，即
2
5
EC
BC =
，则
2
5
ECF
BCF
SEC
S BC
==
；
由
1
2
BD
BA =
，
3
5
BE
BC =
，则
1 3 3
2 5 10
DEB
ABC
S
S=  =
，易知
3 2 1
10 3 5
DBE
FBC
S
S=  =
；
7
130
ECF
FDE DBF DBE
FBC FBC BCF FBC
S
S S S
S S S S
= − − − =
，
7 3 7
30 2 20
FDE
ABC
S
S=  =
；
2
1
17
3
120
3
DEF
ABC
hS
V
VhS
==
.故答案为：
7
20
.
6．设
 
, , 1,2abc
，则
( ) ( ) ( )
2 2 2
b c c a a b
bc ca ab
− − −
++
的最大值为_________.
解：设
( ) ( )
max , , min , ,abc b abc
，则
( )( )
21
0
1
a a b
c b c
a b b c ab bc ca b c b c
a a b
+  +
− − + +
+  +
2
a c a b c b
c a b a b c
+ + + + +
，所以
( ) ( ) ( )
2 2 2
6 2 4
b c c a a b a b a c c b a c
bc ca ab b a c a b c c a
− − − 
+ + = + + + + + − + −


因为
2 ,2a c c a
，所以
( )( )
22 22
05
a c c a ac
ca c a
−−
   +
因此，
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 4 5 4 1
b c c a a b ac
bc ca ab c a
− − − 
+ + + −  − =


，故答案为 1.
7．已知数列
 
n
a
满足
1 2 2 1
1, 2, 3
n n n
a a a a a
++
= = = +
.则
3 2025 2024
24
1 2 3 2024 2
a a a
aa
a a a a a
 
   
  
 
   
 
的值 .
注：
 
x
表示不超过 x的最大整数，
 
x
表示 x的小数部分，即
 
 
x x x=−
解：显然，
 
n
a
为严格递增的正整数的数列.则
22
+1 2 1 1
11
3 3 4 3
nn
n n n n n
nn
aa
a a a a a aa
++
+ + +
++

= +  = −


1
11
33
n n n
nn
a a a
aa
+
++
+
= − =
.
故原式
2023 2024 2024
2 1 2
1 2 3 2024 2 2024 2
2
a a a
a a a
a a a a a a a
   
=   =
   
   
.
由
1 2 3
1, 2, 7a a a= = =
及数学归纳法，知
32k
a+
为偶数，
31k
a+
与
33k
a+
为奇数.
从此，
2024
a
为偶数，因此，所求代数式的值为 1.故答案为：1.
8．已知实数
a
满足：①
[0,2π)a
；②存在实数
, ( 2π)b c a b c  
，使得
a
，
b
，
c
是等差数列，
cosb
，
cosa
，
cosc
也是等差数列.则实数
cosa
的取值范围是 .
{#{QQABTYIAggAAAJJAARhCQwGSCgEQkAGCCKoGxEAEsAAAyAFABAA=}#}
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