湖南省多校2023-2024学年高三下学期4月大联考试题 数学答案
【
高三数学试题参考答案 第１ 页(
共７页)】
２０２４ 届高三４月大联考数学
参考答案、
提示及评分细则
１．
【
答案】
B
【
解析】
由题意可得其展开式中
x
３系数为C
３
６×２
３× －１
( )３＝－C
３
６×８＝－１６０
,
故选 B．
２．
【
答案】
D
【
解析】
由题意可得
M
＝(
３
,
４
),
N
＝(
－３
,
５
),
M
∩
N
＝(
３
,
４
),
故选 D．
３．
【
答案】
A
【
解析】
设
z
＝
a
＋
b
i
,
则
z
＝
a
－
b
i
,
z
z
＝i
,
即
a
＋
b
i＝i
(
a
－
b
i
),
a
＋
b
i＝
a
i＋
b
,
即
a
＝
b
,
故选 A．
４．
【
答案】
C
【
解析】
设适宜条件下１个大肠杆菌增长到１万个大肠杆菌大约需要
x
分钟,
则１
２
x
２４ ＝１００００
,
两边取对数得
x
２４
l
g
２＝l
g
１００００＝４
,
所以
x
＝４×２４
l
g
２≈９６
０．３≈３２０
,
所以大约
需要
３２０
６０＝
１６
３≈５．３小时,
故至少需要６小时,
故选 C．
５．
【
答案】
C
【
解析】
依题意,
联立
x
＋２
y
＋２＝０
y
２＝
ax
{
,
消去
x
得
y
２＋２
a
y
＋２
a
＝０
,
则
Δ
＝４
a
２－８
a
＝０
,
由
a
≠０得
a
＝２
,
故抛物线
C
的方程为
y
２＝２
x
,
其准线方程为
x
＝－１
２,
故选 C．
６．
【
答案】
A
【
解析】
设∠
ACD
＝
θ
,
则∠
BCD
＝２
θ
;
设
CD
＝
BD
＝
a
,
则
AC
＝
a
cos
θ
,
BC
＝
a
cos
２
θ
．
故 在
△
BCD
中,
由余弦定理可得cos２
θ
＝
a
２＋
a
２cos
４
θ
－
a
２
２
a
a
cos
２
θ
＝１
２cos
２
θ
,
而cos２
θ
＝２cos
２
θ
－１
,
故
cos
２
θ
＝２
３,
cos２
θ
＝１
３,
直角三角形
ACD
中,
θ
为锐角,
故cos
θ
＞０
,
故cos
θ
＝６
３,
故选 A．
７．
【
答案】
B
【
解析】
由题意可得至少有２个凹槽与其内小球编号相同的情况只有均相同或恰好有２个 相
同．
不妨用√表述相同,
×表示不同,
则满足题意的排列方式有:
√√√√、
√√××、
√×√
×、
√××√、
×√√×、
×√×√、
××√√,
共７种情况,
即概率为 ７
A
４
４
＝７
２４
,
故选 B．
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
【
高三数学试题参考答案 第２ 页(
共７页)】
８．
【
答案】
C
【
解析】
令
t
＝sin
θ
＋cos
θ
＝ ２sin
(
θ
＋π
４
)
∈[
－ ２,
２],
则已知不等式化为sin
(
t
２－１
)
≤cos
t
＝sin
(
π
２＋
t
)
．
t
２－１∈[
－１
,
１
],
π
２＋
t
∈π
２－ ２,
π
２＋ ２
é
ë
ê
êù
û
ú
ú,
故原不等式的解分两段:
①π
２－ ２≤π
２＋
t
≤π－１⇒
t
∈－ ２,
π
２－１
é
ë
ê
êù
û
ú
ú,
原不等式化为
t
２－１≤π
２＋
t
．
即
t
２－
t
－１－π
２≤０．
②π－１≤π
２＋
t
≤π
２＋ ２⇒
t
∈π
２－１
,
２
é
ë
ê
êù
û
ú
ú,
原不等式化为
t
２－１≤π－
(
π
２＋
t
)
．
即
t
２＋
t
－１－π
２≤０．
四个选项对应的
t
取值范围分别为[
１
,
２],[
１
,
２],[
－１
,
０
],[
－ ２,
－１
],
当
t
＝± ２时显然
不满足题意,
t
∈[
－１
,
０
]
时易验证满足第一种情况,
故选 C．
９．
【
答案】
ABD
【
解析】
整理直线
l
的方程,
得
m
(
x
－
y
)
＋２
(
x
＋
y
)
－４＝０
,
当
x
＝
y
时,
直线方程与
m
的取值
无关,
代入解得
x
＝
y
＝１
,
A正确;
整理圆
C
的方程,
得(
x
＋２
)
２＋(
y
－３
)
２＝４
,
B正确;
令圆心
C
到直线
l
的距离
d
＝|５
m
＋２|
(
m
＋２
)
２＋(
m
－２
)
２≤２
,
解得
m
∈[
－２
,
１４
１７
ù
û
ú
ú,
C错误;
将(
－２
,
３
)
代入
直线
l
的方程,
解得
m
＝－２
５,
D正确．
故选 ABD．
１０．
【
答案】
BCD
【
解析】
如图,
当平面
BAC
⊥平面
DAC
时,
三棱锥体积最大,
记
E
为
AC
中点,
此时
DE
⊥平面
BAC
,
因为
AB
⊂平面
BAC
,
所以
AB
⊥
DE
,
因为
CD
∩
DE
＝
D
,
所以
AB
与
CD
不垂直,
A错误．
对于 B
:
直线
BD
和平面
ABC
所成角即为∠
EBD
,
因 为tan∠
EBD
＝
ED
BE
＝１
,
故∠
EBD
＝π
４,
B正确．
对于 C:
由 于
BC
＝
CD
＝
BA
＝
AD
,
取
BD
中点
G
,
则有
CG
⊥
BD
,
AG
⊥
BD
,
故∠
CGA
为平面
ABD
与 平 面
BCD
所成角的平面
角．
则cos∠
CGA
＝
AG
２＋
CG
２－
AC
２
２
AG
×
CG
＝
３
２＋３
２－４
２× ６
２×６
２
＝１
３,
C正确．
对于 D:
设内切球球心为
I
,
内切球半径为r
,
由等体积法知,
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
【
高三数学试题参考答案 第３ 页(
共７页)】
VABCD
＝
VI
－
ABC
＋
VI
－
BCD
＋
VI
－
ACD
＋
VI
－
ABD
＝１
３
rSABCD
其 中,
VABCD
＝１
３
BE
×
SΔACD
＝１
３,
SABCD
＝２×
(
１
２×２
)
＋
(
１
２× ３
)
é
ë
ê
êù
û
ú
ú＝ ３＋２
,
故
r
＝
３
VABCD
SABCD
＝１
３＋２
＝２－ ３,
D正确．
１１．
【
答案】
BC
【
解析】
由已知得
x
＞
f
(
x
)
x
,
故２＞
f
(
２
)
２,
４＞
f
(
２),
又因为
f
′
(
x
)
＞１＞０,
所 以
f
(
x
)
在
(
１,
＋∞)
单调递增,
所 以
f
(
４)
＞
f
(
f
(
２)),
A错 误 ;
构 造 函 数
g
(
x
)
＝
f
(
x
)
x
,
则
g
′
(
x
)
＝１
x
(
f
′
(
x
)
－
f
(
x
)
x
)
＞０,
所以
g
(
x
)
在(
１
,
＋∞)
单调递增,
因此
g
(
４
)
＞
g
(
２
),
即
f
(
４
)
４＞
f
(
２
)
２,
f
(
４
)
＞２
f
(
２
),
B正 确;
由 于
f
(
x
)
x
＞１
,
f
(
x
)
＞
x
,
故
g
(
f
(
x
))
＞
g
(
x
),
f
(
f
(
x
))
f
(
x
)＞
f
(
x
)
x
,(
f
(
x
))
２＜
x
f
(
f
(
x
)),
因此
f
(
２
)
＜ ２
f
(
f
(
２
)),
C正确;
构造函数
h
(
x
)
＝
f
(
x
)
e
x
,
则
h′
(
x
)
＝
f′
(
x
)
－
f
(
x
)
e
x
,
而
f
(
x
)
＞
x
＞
f
′
(
x
),
故
h′
(
x
)
＜０
,
h
(
x
)
在(
１
,
＋∞)
单调递减,
因
此
h
(
４
)
＜
h
(
２
),
f
(
４
)
e
４＜
f
(
２
)
e
２,
f
(
４
)
＜e
２
f
(
２
),
D错误．
故选 BC．
１２．
【
答案】
１
１４
【
解析】
由题意可得
a
２＋
a
３＋
a
４＝
a
１(
q
＋
q
２＋
q
３)
＝１４
a
１＝１
,
解得
a
１＝１
１４
,
故答案为１
１４
．
１３．
【
答案】π－２
【
解析】
f
′
(
x
)
＝－
ω
sin
ωx
,
故有 －
ω
sin
ω
２＝－
ω
sin２
,
即sin
ω
２＝sin２
,
则
ω
２＝２＋２
k
π
(
k
∈Z
)
或
ω
２＋２＝π＋２
k
π
(
k
∈Z
),
解得
ω
＝ ２＋２
k
π(
k
∈Z
)
或
ω
＝ π－２＋２
k
π(
k
∈Z
),
当
k
＝０
时,π－２＋２
k
π取最小值 π－２,２＋２
k
π取得最小值 ２,
因为 π－２＜ ２,
故
ω
的最小值
为π－２．
１４．
【
答案】{
１
}
∪(
e１
４e ,
e
e)
【
解析】
由题意可得方程
lo
g
x
a
＝－
x
＋２ln
a
在(
０
,
１
)
∪(
１
,
＋∞)
无解,
将方程变形得
x
ln
x
－
２ln
a
ln
x
＋ln
a
＝０
,
即函数
g
(
x
)
＝
x
ln
x
－２ln
a
ln
x
＋ln
a
在(
０
,
１
)
∪(
１
,
＋∞)
无零点．
易
得
g
(
x
)
的定义域为(
０
,
＋∞),
仅在讨论零点时舍去
x
＝１ 的情况:
若
a
＝１ 时,
则
g
(
x
)
＝
x
ln
x
,
０＜
x
＜１时
g
(
x
)
＜０
,
x
＞１时
g
(
x
)
＞０
,
故在(
０
,
１
)
∪(
１
,
＋∞)
无零点,
因此
a
＝１符
合题意;
当
a
≠１ 时,
则
g
＇
(
x
)
＝１＋ln
x
－２ln
a
x
,
设
φ
(
x
)
＝１＋ln
x
－２ln
a
x
,
则
φ
＇
(
x
)
＝
x
＋２ln
a
x
２,
当
a
＞１时
φ
＇
(
x
)
＞０
,
则
φ
(
x
)
在(
０
,
＋∞)
单调递增,
由于
x
→０时
g
＇
(
x
)
→－∞,
x
{#{QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=}#}
标签： #大联考
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