湖南省2024届高三新改革适应性训练二数学试题（九省联考题型）含解析
湖南 2024 年高三数学新改革适应性
训练二
（九省联考题型）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题 5分）一组数据
2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（本题 5分）已知椭圆
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的离心率为
1
3
，则
a
b=¿
（）
A．
9
8
B．
3❑
√
2
2
C．
4
3
D．
3❑
√
2
4
3．（本题 5分）若
Sn
是等差数列
{
an
)
的前 n项和，
a1+2a4+a11=8
，则
S9=¿
（）
A．10 B．18 C．20 D．24
4．（本题 5分）设
m
、
n
是不同的直线，
α
、
β
是不同的平面，下列命题中正确的是
（）
A．若
m∥α
，
n⊥β
，
m∥n
，则
α∥β
B．若
m∥α
，
n⊥β
，
m⊥n
，则
α∥β
C．若
m∥α
，
n⊥β
，
m⊥n
，则
α⊥β
D．若
m∥α
，
n⊥β
，
m∥n
，则
α⊥β
5．（本题 5分）一排 11 个座位，现安排甲、乙 2人就座，规定中间的 3个座位不能坐，
且2人不能相邻，则不同排法的种数是（）
A．28 B．32 C．38 D．44
6．（本题 5分）已知圆
M:x2+y2+4x=0
和圆
N:x2+y2−4y − 12=0
相交于
A , B
两
点，点
P
是圆
M
上任意一点，则
|
⃗
PA+
⃗
PB
)
的取值范围是（）
A．
[
2❑
√
2,4+❑
√
2
)
B．
[
4−❑
√
2,4+❑
√
2
)
C．
[
4−❑
√
2,2❑
√
2
)
D．
[
4−2❑
√
2,4+2❑
√
2
)
7．（本题 5分）求值：
2 sin 80°cos 20 °
1+4 cos 20°sin250°=¿
（）
A．
❑
√
3
3
B．
❑
√
2
2
C．1 D．
❑
√
3
2
8．（本题 5分）双曲线
C:x2
a2−y2
b2=1(a>0, b>0)
的左､右焦点分别为
F1
(
− c , 0
)
, F2
(
c ,0
)
，以
C
的实轴为直径的圆记为
D
，过
F1
作
D
的切线与曲线
C
在第一
象限交于点
P
，且
S△F1PF2=4a2
，则曲线
C
的离心率为（）
A．
❑
√
5
B．
❑
√
5+1
2
C．
❑
√
5−1
D．
❑
√
2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．（本题 6分）若函数
f
(
x
)
=2sin
(
π
5x − π
4
)
则（）
A．
f
(
x
)
的最小正周期为 10 B．
f
(
x
)
的图象关于点
(
4
5,0
)
对称
C．
f
(
x
)
在
(
0,25
4
)
上有最小值 D．
f
(
x
)
的图象关于直线
x=15
4
对称
10．（本题 6分）已知
z1, z2
是复数，下列结论中不正确的是（）
A．若
z1
2+z2
2>0
，则
z1
2>− z2
2
B．
|
z1− z2
)
=❑
√
(
z1+z2
)
2−4z1⋅z2
C．
z1
2+z2
2=0⇔z1=z2=0
D．
|
z1
2
)
=
|
z1
)
2
11．（本题 6分）已知
f
(
x
)
是定义在
R
上的不恒为零的函数，对于任意
x , y ∈R
都满足
f
(
xy
)
=xf
(
y
)
+yf
(
x
)
，则下列说法正确的是（）
A．
f
(
1
)
=0
B．
f
(
x
)
是奇函数
C．若
f
(
2
)
=2
，则
f
(
1
2
)
=1
2
D．若当
x>1
时，
f
(
x
)
<0
，则
g
(
x
)
=f
(
x
)
x
在
(
0,+∞
)
单调递减
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．（本题 5分）已知
{x∨
|
3x −b
)
<4}∩Z =
{
1,2,3
)
，那么实数
b
的取值范围为.
13．（本题 5分）三个相似的圆锥的体积分别为
V1
，
V2
，
V3
，侧面积分别为
S1
，
S2
，
S3
，且
V1=V2+V3
，
a S1=S2+S3
，则实数
a
的最大值为．
14．（本题 5分）已知函数
f(x)=aln x − 2x
(
a ≠0
)
，若不等式
xa≥2 e2xf(x)+e2xcos (f(x))
对
x>0
恒成立，则实数 a的取值范围为.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题 13 分）设函数
f(x)=ln x+k
x, k ∈R
．
(1)若曲线
y=f(x)
在点
(e, f (e))
处的切线与直线
x − 2=0
垂直，求
k
的值；(其中
e
为自
然对数的底数)
(2)在（1）的条件下求
f(x)
的单调区间和极小值．
16．（本题 15 分）当前，以 ChatGPT 为代表的 AIGC（利用 AI 技术自动生成内容的生
产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱
AIGC，我国的 BAT（百度、阿里、腾讯 3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝
色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局 AIGC 赛道，某传媒公司准备发布《2023 年
中国 AIGC 发展研究报告》，先期准备从上面 7个科技企业中随机选取 3个进行采访．
(1)求选取的 3个科技企业中，BAT 中至少有2个的概率；
(2)记选取的 3个科技企业中 BAT 中的个数为 X，求 X的分布列与期望．
17．（本题 15 分）如图，在四棱锥
P − ABCD
中，底面四边形
ABCD
为直角梯形，
AB // CD
，
AB⊥BC
，
AB=2CD=2BC
，
O
为
BD
的中点，
BD=4
，
PB=PC=PD=❑
√
5
.
(1)证明:
OP ⊥
平面
ABCD
；
(2)求平面
PAD
与平面
PBC
所成锐二面角的余弦值.
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