湖南省2024届高三数学数列中的知识交汇和创新型问题（解析） (2)

3.0 envi 2025-01-15 7 4 2.11MB 46 页 3知币
侵权投诉
1
数列中的知识交汇和创新型问题
1王先生今年初向银行申请个人住房贷款 100 万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初
开始还贷，分 10 年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等
分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同
等数额的贷款 (包括本金和利息).
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还 15000 元，最后一个还贷月应还 6500
元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为 0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月
收入的一半，已知王先生家庭月收入为 23000 元，试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)
参考数据 1.003119≈1.428，1.003180≈1.433，1.003121≈1.437
【答案】(1)290000 元
(2)王先生该笔贷款能够获批
【分析】(1)由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息；
(2)利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论.
【详解】(1)由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列 an
，Sn表示数列 an
的前 n项和.
则a1=15000,a120=6500，故 S120=15000 +6500
2×120 =1290000.
故王先生该笔贷款的总利息为：1290000 -1000000 =290000 元.
(2)设王先生每月还货额为 x元，则有
x+x(1+0.003)1+x(1+0.003)2+ ⋯+x(1+0.003)119=1000000 × (1+0.003)120，
即x1-1.003120
1-1.003 =1000000 × (1+0.003)120，
故x=1000000 × (1+0.003)120×0.003
1.003120-1≈9928.
因为 9928 <23000 ×1
2=11500，故王先生该笔贷款能够获批.
2佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为
核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建
筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度 153.6 米.坊塔塔楼由底部 4个高度相同的方体组成
塔基，支托上部 5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部 4个方体高度均为 33.6 米，中间
第5个方体也为 33.6 米高，再往上 2个方体均为 24 米高，最上面的两个方体均为 19.2 米高.
2
(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列 an
的通项公式，该数列以
33.6 为首项，并使得 24 和19.2 也是该数列的项；
(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为 310 米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前 m(m∈
N*)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为 19.2 米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上
依次为 2a1、3a2、4a3、⋯⋯、m+1
am(m+1
am表示高度为 am的方体连续堆叠 m+1层的总高
度)，请问新堆叠坊塔的高度是否超过 310 米？并说明理由.
【答案】(1)an=36 -2.4n(答案不唯一，符合题意即可)
(2)可以，理由见详解
【分析】(1)根据等差数列的通项公式运算求解，并检验 24 和19.2 是否符合；
(2)根据题意求 S7，并与 310 比较大小，分析判断.
【详解】(1)由题意可知：a1=33.6，注意到 33.6 -24 =9.6,24 -19.2 =4.8，
取等差数列的公差 d=-2.4，则 an=33.6 -2.4 n-1
=36 -2.4n，
令an=36 -2.4n=24，解得 n=5，即 24 为第 5项；
令an=36 -2.4n=19.2，解得 n=7，即 19.2 为第 7项；
故an=36 -2.4n符合题意.
(2)可以，理由如下：
由(1)可知：m≤7,a1=33.6,a2=31.2,a3=28.8,a4=26.4,a5=24,a6=21.6,a7=19.2，
设数列 n+1
an
的前 n项和为 Sn，
∵S7=2a1+3a2+4a3+...+8a7=856.8 >310，
故新堆叠坊塔的高度可以超过 310 米.
3在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格 a与其实际价值 b之间
存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商
家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上
3
二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一
半，如此下去，可得表 1:
表1
次数 消费者还价 商家讨价
第一次 b1=1
2a c1=b1+1
2(a-b1)
第二次 b2=c1-1
2(c1-b1)c2=b2+1
2(c1-b2)
第三次 b3=c2-1
2(c2-b2)c3=b3+1
2(c2-b3)
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
第n次bn=cn-1-1
2(cn-1-bn-1)cn=bn+1
2(cn-1-bn)
消费者每次的还价 bn(n∈k)组成一个数列 bn
.
(1)写出此数列的前三项，并猜测通项 bn的表达式并求出 lim
n→+∞bn；
(2)若实际价格 b与定出 a的价格之比为 b:a=0.618:1，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有
百分之几的利润?
【答案】(1)答案见解析
(2)8%
【分析】(1)根据条件即可得到数列 bn
的通项公式，进而可直接计算 lim
n→+∞bn；
(2)根据价格比得 a,b关系，代入 (1)中lim
n→+∞bn计算即可.
【详解】(1)b1=1
2a，
b2=c1-1
2c1-b1
=1
2a+1
4a-1
8a= - 1
2a
+ - 1
2
2a+ - 1
2
3a+a，
b3=c2-1
2c2-b2
= - 1
2a
+ - 1
2
2a+⋯+ - 1
2
5a+a，
观察可得，
bn=cn-1-1
2cn-1-bn-1
= - 1
2a
+ - 1
2
2a+⋯+ - 1
2
2n-1a+a
=- 1
3a1+1
2
2n-1
+a
lim
n→∞bn=lim
n→∞ -1
3a1+1
2
2n-1
+a
=- 1
3a+a=2
3a.
(2)因为 b:a=0.618:1，所以 a=b
0.618 ，
故2
3a=2b
3×0.618 ≈1.08b
故商家将有约 8%的利润.
湖南省2024届高三数学数列中的知识交汇和创新型问题（解析） (2).pdf

共46页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：分省 价格：3知币 属性：46 页 大小：2.11MB 格式：PDF 时间：2025-01-15

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 46
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注