2024届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试 数学答案

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永州市 2024 年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第1页（共6页）
永州市 2024 年高考第二次模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
C
B
D
D
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．
题号
9
11
12
答案
BCD
ACD
ABD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上.
13．
4
3
−
14．
2
5
15．
2
e
4
16．
1785
部分小题提示解析 ：
8．解：因为
( ) ( )
0f x x x a a= + +
，所以
( ) ( )
f a x x a x f x− − = + + =
，即
( )
fx
关于直线
2
a
x=−
对称，所以
( )
fx
为轴对称函数.
关于直线
2
a
x=−
对称，只需研究
2
a
x−
性质，
( )
,0
2
, 0
a
x x a x
fx
x x a x
− + + −
=
+ +
当
0
2
ax−  
时，
( )
f x x x a= − + +
，易知
( )
0fx
所以
( )
( )
2
22
22f x x x a x ax= − + + = + − −
，故
( )
2
fx
在
0
2
ax−  
单调递减
所以当
0
2
ax−  
时，
( )
fx
单调递减，故 B错.
当
0x
时，
( )
f x x x a= + +
，此时
( )
fx
单调递增，而
2
2
a
fa

−=


所以
( )
f x b=
有三解，则
2ba=
又因为
( )
f b b b a b= + + =
，联立解得
128a=
，
16b=
，所以 C错误.
要
( )
2fx=
有四个解，则
22aa
，解得
( )
2,4a
，故选 D．
16．解：由已知可得，
2
4 4 1kk
a a k
+
+=
，
4 1 4 2 0
kk
aa
++
+=
，
2
4 2 4 3
1
()
4
kk
a a k k
++
+ = − + +
，
4 3 4 4 0
kk
aa
++
+=
，则
4 4 4
1
4
kk
a a k
+− = +
，则由累加法可得
240 240 236 236 232 8 4 4
( ) ( ) ( ) 1785a a a a a a a a= − + − + + − + =
．
{#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}
永州市 2024 年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第2页（共6页）
四、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解析：
（1）当
1n=
时，
11
22aa=−
，则
12a=
..................................................1 分
当
2n
时，
1
22
n n n
a a a −
=−
，则
1
2
nn
aa
−
=
..................................................3 分
则数列
 
n
a
是以
2
为公比的等比数列，则
2n
n
a=
．............................................5 分
（2）因为
( )
( )
2 , 2 ,
, 2 1,
n
n
n k k
bn n k k
=
== −
N
N
..................................................6 分
所以
( )
2 4 6 2
21 2 2 2 2 1 3 5 2 1
n
n
Tn
+= + + + + + + + + + +
，..................................8 分
则
( )
( )( ) ( )
12
21
4 1 4 1 1 2 1 44 1
1 4 2 3
nn
n
nn
Tn
+
+
−+ + + −
= + = + +
−
．...............................10 分
18．解析：
（1）因为
sin sin sin 2 sin sina A b B c C a A B+ − =
由正弦定理可得：
2 2 2 2 sina b c ab A+ − =
..................................................1 分
由余弦定理可得：
cos sinCA=
..................................................2 分
解得
2
AC
=−
或
2
AC
=+
（一个答案一分） ..................................................3 分
又因为
B
为锐角，所以
2
AC
−=
..................................................4 分
所以
( )
sin 1AC−=
． ..................................................6 分
（2）由（1）得
3
3π
sin sin sin sin 2 sin cos2 2sin sin
2
A B A A A A A A

= − = − = −


.........7 分
令
sintA=
，则
( )
3
sin sin 2A B f t t t= = −
..................................................8 分
因为
π3π
24
A
，所以
21
2t
..................................................9 分
所以
( )
2
61f t t
=−
，当
2,1
2
t



，
( )
0ft
，
( )
ft
单调递增 ..........10 分
所以
2,1
2
t



时，
( ) ( )
0,1ft
，所以
( )
ft
无最值 ........................................11 分
所以
sin sinAB
无最值． ..................................................12 分
19．解析：
（1） 因为
AE CD
，
AE AC⊥
，所以
CD AC⊥
.........................................1 分
又因为平面
ACDE ⊥
平面
ABC
，平面
ACDE
平面
ABC AC=
........................2 分
所以
CD ⊥
平面
ABC
..................................................3分
又因为
AB
平面
ABC
所以
AB CD⊥
．
..................................................4 分
（2）取
AB BE、
的中点分别为
OG、
，连接
OC OG、
所以
OG AE
因为
AE CD
，所以
OG CD
而
CD ⊥
平面
ABC
，所以
OG ⊥
平面
ABC
因为
AC BC=
，
OA OB=
{#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}
永州市 2024 年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第3页（共6页）
所以
AB OC⊥
.................................................5 分
以
O
为坐标原点，分别以直线
OB OC OG， ，
为
x
轴、
y
轴、
z
轴建立如图所示的空间直角坐标系 .........................6 分
设
( )
,0,0Bt
，则
( )
,0,0At−
，
()
2
0, 4 ,0Ct−
，
()
2
0, 4 ,2Dt−
，
2
4
, ,1
22
tt
F
−



所以
2
34
, ,1
22
tt
AF 
−
=


，易知
( )
0,1,0n=
是平面
ABE
的一个法向量 .........7 分
所以
2
22
42
2
cos , 8
94 1
44
t
AF n
AF n AF n tt
−
= = =
−
++
，解得
=3t
................8 分
设
( )
,,m x y z=
是平面
ACDE
的一个法向量，因为
( )
3,1,0AC =
，
( )
0,0,2CD =
则
0
0
m AC
m CD
=
=
，即
30
0
xy
z
+=
=
..................................................9 分
令
3x=
，则
( )
3, 3,0m=−
..................................................10 分
又因为
( )
2 3,0,0AB =
则点
B
到平面
ACDE
的距离为
2 3 3 3
39
AB m
dm
= = =
+
..............................11 分
所以
( )
12
12 3 3
32
B ACDE
V−
+
=   =
． ..................................................12 分
20．解析：
（1）依题意可得，随机变量
 
3,5,7,9X
..................................................1 分
设甲、乙在一局比赛中得
3
分的概率为
P
，则
33
23
33
1 1 1
2 2 2
P C C
   
= + =
   
   
， ...2 分
则
( )
3
11
328
PX 
= = =


，
( )
3
1
3
13
528
P X C 
= = =


...........................................3 分
( )
3
2
3
13
728
P X C 
= = =


，
( )
3
11
928
PX 
= = =


............................................4 分
则分布列：
数学期望
( )
1 3 3 1
3 5 7 9 6
8 8 8 8
EX=  +  +  + =
．
...........................................5 分
（2）设在甲参加的
( )
2nn
N
局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为
Y
X
3
5
7
9
P
1
8
3
8
3
8
1
8
{#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}
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