北京市西城区2024届高三下学期4月一模试题 数学 含答案

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西城区高三统一测试试卷
数 学
2024.4
本试卷共 6页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共 40 分）
一 选择题共､10 小题，每小题 4分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1.已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
3.在 的展开式中，常数项为（ ）
A.60 B.15 C.-60 D.-15
4.已知抛物线 与抛物线 关于直线 对称，则 的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.设 ，其中 ，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知向量 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为 1，则 （
）
A.-1 B.1 C.-7 D.7
7.已知函数 若 存在最小值，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.在等比数列 中， .则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.关于函数 ，给出下列三个命题：
①是周期函数；
②曲线 关于直线 对称；
③在区间 上恰有 3个零点.
其中真命题的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘
曲线”.“遗忘曲线”中记忆率 随时间 （小时）变化的趋势可由函数 近似描述，则记忆率
为 时经过的时间约为（ ）（参考数据： ）
A.2 小时 B.0.8 小时 C.0.5 小时 D.0.2 小时
第二部分（非选择题共 110 分）
二 填空题共､5小题，每小题 5分，共 25 分.
11.若复数 满足 ，则 __________.
12.已知 .使 成立的一组 的值为 __________；_______
___.
13.双曲线 的渐近线方程为__________；若 与圆 交于
四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 __________.
14.在数列 中， .数列 满足 .若 是公差为 1的等差数列，
则 的通项公式为 __________， 的最小值为__________.
15.如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直.点 在正方形 及其内部运动，点 在
矩形 及其内部运动.设 ，给出下列四个结论：
①存在点 ，使 ；
②存在点 ，使 ；
③到直线 和 的距离相等的点 有无数个；
④若 ，则四面体 体积的最大值为 .
其中所有正确结论的序号是__________.
三 解答题共､6小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题 14 分）
如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
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