北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学 含答案

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北京市西城区 2023—2024 学年度第一学期期末试卷
高三数学
本试卷共 6页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设，，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知双曲线 的一个焦点是 ，渐近线为 ，则 的方程是（ ）
A. B. C. D.
5.已知点 ，点 满足 .若点 ，其中 ，则 的最小值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
6.在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数 ，则（ ）
A. 在 上是减函数，且曲线 存在对称轴
B. 在 上是减函数，且曲线 存在对称中心
C. 在 上是增函数，且曲线 存在对称轴
D. 在 上是增函数，且曲线 存在对称中心
8.设，是非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设 是首项为正数，公比为 的无穷等比数列，其前 项和为 .若存在无穷多个正整数 ，使 ，
则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，水平地面上有一正六边形地块 ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的
柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板 .若其中三根柱子 ， ， 的高度依次为
， ， ，则另外三根柱子的高度之和为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分.
11.在 的展开式中， 的系数为______.（用数字作答）
12.设 ，函数 .若曲线 关于直线 对称，则 的一个取值为______.
13.已知函数 ，则 的定义域是______； 的最小值是______.
14.已知抛物线 ：.
① 则 的准线方程为______.
② 设 的顶点为 ，焦点为 .点 在 上，点 与点 关于 轴对称若 平分 ，则点 的横坐
标为______.
15.设 ，函数 给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
② 当 时， 存在最大值；
③ 当 时，直线 与曲线 恰有 3个交点；
④ 存在正数 及点 （ ）和（ ），使 .
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共 6小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题 13 分）
已知函数 的一个零点为 .
（Ⅰ）求 的值及 的最小正周期；
（Ⅱ）若 对 恒成立，求 的最大值和 的最小值.
17.（本小题 13 分）
生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从
该地随机抽取了 200 名中学生和 80 名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四
中学生 80 60 40 20
大学生 30 20 20 10
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
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