北京市海淀区2024届高三下学期一模试题 数学答案

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高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 8 页）
海淀区 2023—2024 学年第二学期期中练习
高三数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）
（1）D （2）A （3）B （4）C （5）D
（6）A （7）B （8）C （9）D （10）C
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25 分）
（ 11 ）
4
（12）
2
（13）
16
40
41
（14）
1
π
( , 0)
4
（答案不唯一）
（15）②③④
三、解答题（共 6小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）由正弦定理
sin sin sin
a b c
A B C

及
，得
sin sin 3sin cos 2sinB C C B C
.
因为
(0,π)C
，所以
sin 0C
.
所以
sin 3cos 2BB
.
所以
π
sin( ) 1
3
B
.
因为
(0, π)B
，
所以
π π
32
B
，即
π
6
B
.
（Ⅱ）由余弦定理得
2 2 2 3
cos 22
a c b
Bac


.
因为
23a
，
所以
22
12 6c b c 
.
因为
4bc
，
所以
2c
.
所以
ABC△
的面积为
1sin 3
2ac B
.
{#{QQABYQiQggAIQJAAABgCQQHSCAGQkBACAIoGgBAMMAAACQFABAA=}#}
高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 8 页）
（17）（共 14 分）
解：（Ⅰ）取
PC
的中点
N
，连接
MN
，
ND
.
因为
M
为
BP
的中点，
所以
1
2
MN BC
，
//MN BC
.
因为
//AD BC
，
所以
//AD MN
.
所以
M
，
N
，
D
，
A
四点共面.
因为
//AM
平面
CDP
，平面
MNDA
平面
CDP DN
，
所以
//AM DN
.
所以
MN AD
.
所以
2BC AD
.
（Ⅱ）取
BC
的中点
E
，连接
AE
，
AC
.
由（Ⅰ）知
2BC AD
.
所以
EC AD
.
因为
//EC AD
，
所以四边形
AECD
是平行四边形.
所以
1EC AD
，
AE CD
.
因为
1AB CD
，所以
1
12
AE BC
.
所以
90BAC  
，即
AB AC
.
选条件①：
BP DP
.
（ⅰ）因为
1AB AD
，
PA PA
，
所以
PAB PAD△ △
.
所以
PAB PAD  
.
因为
AB PA
，所以
90PAB  
.
所以
90PAD  
，即
AP AD
.
所以
AP
平面
ABCD
.
（ⅱ）由（ⅰ）知
AP
平面
ABCD
.
所以
AP AC
.
N
A
B
C
D
M
P
A
B
C
D
E
M
P
{#{QQABYQiQggAIQJAAABgCQQHSCAGQkBACAIoGgBAMMAAACQFABAA=}#}
高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 8 页）
因为
PA AB
，
1AP
，
如图建立空间直角坐标系
A xyz
.
则
(0,0,1)P
，
(0, 3,0)C
，
13
( , ,0)
22
D
.
所以
13
( , ,0)
22
CD  
，
13
( , , 1)
22
PD  
，
(0, 3,0)AC
.
设平面
PDC
的法向量为
( , , )x y zn
，则
0,
0,
CD
PD


n
n
即
13
0,
22
13 0.
22
xy
x y z
 
 
令
3x
，则
1y
，
3z
.于是
( 3, 1, 3)  n
.
因为
AC
为平面
PAB
的法向量，且
7
cos , 7
| | |
AC
AC AC
  
n
nn|
，
所以二面角
C l B
的余弦值为
7
7
.
选条件③：
CBM CPM  
.
（ⅰ）所以
CB CP
.
因为
1AB AP
，
CA CA
，
所以
ABC APC△ △
.
所以
90PAC BAC   
，即
PA AC
.
因为
PA AB
，
所以
PA
平面
ABCD
.
（ⅱ）同选条件①．
x
z
y
A
B
C
D
M
P
{#{QQABYQiQggAIQJAAABgCQQHSCAGQkBACAIoGgBAMMAAACQFABAA=}#}
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