北京市东城区2024届高三下学期4月一模试题 数学 含答案

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2024 北京东城高三一模
数 学
2024.4
本试卷共 6页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）如图所示， 是全集， 是 的子集，则阴影部分所表示的集合是
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知 ， ，且 ，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知双曲线 的离心率为 2，则 =
（A） （B） （C） （D）
（4）设函数 ，有
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知函数 的最小正周期为 ，最大值为 ，则函数 的图象
（A）关于直线 对称 （B）关于点 对称
（C）关于直线 对称 （D）关于点 对称
（6）已知 ，若 ，则 的取值可以为
（A） （B） （C） （D）
（7）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片
的方法. 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆
桶底面外圆的直径为 20cm，高 20cm . 首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 2cm 的粘土，然
后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦 .每
位同学制作四片瓦，全年级共 500 人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参
考数据： ）
（A）
0 . 8 m3
（B）
1. 4 m3
（C）
1. 8 m3
（D）
2. 2 m3
（8）设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”
的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）如图 1，正三角形 与以 为直径的半圆拼在一起， 是 的中点， 为 的中心. 现将
沿 翻折为 ，记 的中心为 ，如图 2. 设直线 与平面 的夹角为 ，则
的最大值为
图1 图2
（A） （B） （C） （D）
（10）已知 是定义在 R上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数 ，
下列说法正确的是
（A）若 在 R上单调递增，则存在实数 ，使得 在 上单调递增
（B）对于任意实数 ，若 在 上单调递增，则 在 R上单调递增
（C）对于任意实数 ，若存在实数 ，使得 ，则存在实数 ，使得
（D）若函数 满足：当 时， ，当 时， ，则 为 的
最小值
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。
（11）若复数 ，则 ___________.
（12）设向量 ，且 ，则
m=
___________.
（13）已知角 的终边关于直线 对称，且 ，则 的一组取值可以是 = ，
= .
（14）已知抛物线 的焦点为 ，则 的坐标为______；抛物线 的焦点为 ，若直
线 分别与 ， 交于 ， 两点， 且 ，则 _____.
（15）已知数列 的各项均为正数，满足 ，其中常数 .给出下列四个判断：
① 若 ， ，则 ；
② 若 ，则 ；
③ 若 ， ，则 ；
④ ，存在实数 ，使得 .
其中所有正确判断的序号是 ．
三、解答题共 6小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16)（本小题 13 分）
在 中， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， 为 边的中点，且 ，求 的值.
(17)（本小题 13 分）
某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100 人进行一般现代文阅读
速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分
布直方图：
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