北京市东城区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学 含答案

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东城区 2023-2024 学年度第一学期期末统一检测
高 三 数 学 2024.1
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在
试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。
(1)已知全集 U={x|0<x<4},集合 A={x|0<x<2},则 C∪A=
(A){x|2<x<4} (B){x|2<x≤4} (C){x|2≤x<4} (D){x|2≤x≤4}
(2)若复数 z 满足 z(1+i)=i,则 z 的共轭复数 z=
(
A
)
1
2+1
2i
(
B
)
−1
2−1
2i
(
C
)
−1
2+1
2i
(
D
)
1
2−1
2i
(
3
)
(
x+1
x
)
5
的展开式中，x 的系数为
(A)1 (B)5 (C)10 (D)20
(4)设等比数列{an}的各项均为正数. S ₙ为其前 n 项和，若
a₁=2, a ₂a₃a₄=a₉,
则
S₃=¿
(A)6 (B)8 (C)12 (D)14
(5)已知非零向量 a,b 满足|a|=|b|,且 a·b=0,对任意实数 λ,μ,下列结论正确的是
(
B
) (
λa− μb
)
⋅
(
μa+λb
)
=0
(
C
) (
λa − μb
)
⋅
(
λa+μb
)
=0
(
D
) (
λa+μb
)
⋅
(
μa+λb
)
=0
(6)如图，在正方体
ABCD− A ₁B₁C₁D₁
中,AB=2,E,F 分别是
DD ₁, BB ₁
的中点.用过点
F 且平行于平面 ABE 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为
(
A
)
2❑
√
5
(
B
)
❑
√
6
(
C
)
❑
√
5
(
D
)
❑
√
5
2
高三数学 第 1 页 (共 6 页 )
(7)已知
a>0, b>0,
则
a
1
2>b
1
2,
是
41
2a<1
2b”
的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立
直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在
t=0
时刻,粒子从
点 A(0,1)出发，沿着轨迹曲线运动到.
B
(
1, −1
)
,
再沿着轨迹曲线
途经 A 点运动到 C(-1，-1)，之后便沿着轨迹曲线在 B，C 两点
之间循环往复运动.设该粒子在 t 时刻的位置对应点 P(x，y)，则坐标 x，y 随时间
t(t≥0)变化的图象可能是
(9)已知线段 AB 的长度为 10，M 是线段 AB 上的动点(不与端点重合).点 N 在圆心为
M，半径为 MA 的圆上,且 B,M,N 不共线,则
△BMN
的面积的最大值为
(
A
)
25
2
(
B
)
25
4
(
C
)
25❑
√
3
2
(
D
)
25 ❑
√
3
4
高三数学 第 2 页(共 6 页)
(10)设函数.
f
(
x
)
=cos x+❑
√
cos 2 x ,
对于下列四个判断：
① 函数 f(x)的一个周期为 π;
② 函数 f(x)的值域是
[
−
❑
√
2
2,2
)
;
③ 函数 f(x)的图象上存在点 P(x,y),使得其到点(1,0)的距离为
❑
√
2
2;
④ 当
x∈
[
−π
4,π
4
)
时，函数 f(x)的图象与直线 y=2 有且仅有一个公共点正确的
判断是
A.① B.② C.③ D. ④
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分。
(11)函数
f
(
x
)
=1
xln x
的定义域为 .
(12)已知双曲线
C:y2
4−x2
2=1,
则双曲线 C 的渐近线方程是 ；直线 x=1 与双曲线相
交于 M,N 两点,则|MN|= .
(13)已知函数 f(x)=sin(x+∞)(φ>0),若
f
(
−π
6
)
=f
(
π
2
)
,
则φ的一个取值为 .
(14)设函数
f
(
x
)
=
{
2x−1, x <a , x2+a , x≥ a .
)
① 若 a=-2,则 f(x)的最小值为 ;
② 若 f(x)有最小值，则实数 a 的取值范围是
(15)一般地，对于数列{an}，如果存在一个正整数 t，使得当 n 取每一个正整数时，都有
aₙ ₊ ₜ=aₙ,
那么数列{an}就叫做周期数列，t 叫做这个数列的一个周期. 给出下列四个判
断：
① 对于数列{an},若 a ∈{1,2}(i=1,2,3,…),ᵢ则{an}为周期数列；
② 若{an}满足:(
a2n=a2n+2, a2n −1=a2n+1
(
n∈N∗
)
,
则{an}为周期数列；
③ 若{an}为周期数列，则存在正整数 M，使得|a。|<M'恒成立；
④ 已知数列{an}的各项均为非零整数，Sₙ为其前 n 项和，若存在正整数 M，使得
¿Sₙ∨¿M
恒成立，则{an}为周期数列.
其中所有正确判断的序号是 .
高三数学 第 3 页(共 6 页)
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