北京市昌平区2023-2024学年高三上学期期末质量抽测数学答案

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昌平区 2023－2024 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷参考答案 2024.1

一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分.

二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分.

（11）3

4（12）7（13）2 2n

（14）1（答案不唯一）（15）①②④

注：第（13）题第一空 3分,第二空 2分;第（15）题全部选对得 5分，不选或有错选得 0分，其他得 3

分.

三、解答题共 6小题，共 85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（16）（本小题 13 分）

解：（Ⅰ）因为 //AB DC ，AB PCD平面，CD PCD平面，

所以 //AB 平面 PCD .…………… 1 分

因为直线 PC 交平面 ABN 于点 M.

所以平面 ABMN 平面 PCD MN . …………… 2 分

所以 //AB MN .…………… 3 分

所以 //CD MN .…………… 4 分

因为点 N是PD 的中点，

所以点 M是PC 的中点. …………… 5 分

（Ⅱ）因为 PD ABCD平面，

所以 PD DA，PD DC.

因为 AD DC，

所以 , ,DP DA DC 两两相互垂直. …… 6 分

如图，以点 D为坐标原点，

建立空间直角坐标系 D xyz .则 (0,0,0)D，

(2,0,0)A，(2, 2,0)B，(0, 4,0)C，(0, 0, 4)P，

……7 分

题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

答案 B A B C D B D C D C

{#{QQABLQAAoggoAAJAAQgCEwF4CAIQkAAAACoGgAAEIAIAiQNABAA=}#}

所以 (0, 0, 2)N，(0, 2, 2)M.

所以 (0, 2,0)AB 

 ，( 2,0, 2)AN  

 .…………… 8 分

设平面 ABMN 的法向量为 ( , , )x y zn，则

 



 







即2 0,

2 2 0.

x z





  

…………… 9 分

令1x，于是 1z，0y，所以 (1,0,1)n.…………… 10 分

又因为平面 PCD 的法向量为 1(1,0,0)

2DA 



m.…………… 11 分

所以 2

cos , 2

< >= m n

m n

m n . …………… 12 分

由题知，二面角  A MN P 是钝角，

所以二面角  A MN P 的大小为 3

.…………… 13 分

（17）（本小题 14 分）

解：（Ⅰ）因为

sin sin sin

 

a b c

ABC

，……………1 分

所以 sin cos cos sin 2sin cos B C B C A A .…………… 2 分

所以 sin( ) 2 sin cos B C A A .…………… 3 分

因为    A B C ,所以 sin 2sin cosA A A . …………… 4 分

又sin 0A，所以 1

cos 2

A. …………… 5 分

因为 0  A，所以



 A. …………… 6 分

（Ⅱ）选择条件①③：

因为

cos 7

C

，0  C，

所以 24 3

sin 1 cos 7

C C   .…………… 8 分

由正弦定理得

sin sin



a c

A C

，

{#{QQABLQAAoggoAAJAAQgCEwF4CAIQkAAAACoGgAAEIAIAiQNABAA=}#}

所以

4 3

sin 78

sin 3



  

a C

cA. …………… 10 分

因为

π π π π

sin sin[ ] sin( ) sin cos cos sin

3 3 3 3

         B C C C C

4 3 1 1 3 5 3 ,

7 2 7 2 14

    …………… 12 分

所以 1 1 5 3

sin 7 8 10 3

2 2 14

     

ABC

S ac B . …………… 14 分

选条件②③：

因为 1

cos 7

C，0  C，所以 24 3

sin 1 cos 7

  C C . ……… 8 分

由正弦定理得

sin sin



a c

A C

，所以

sin 27

sin 4 3



  

c A

aC. ………10 分

由余弦定理得 2 2 2 2 cos  ab Cc a b ，

所以 22 15 0  b b . ……………12 分

解得 5b或3 b（舍）.

所以 1 1 4 3

sin 7 5 10 3

2 2 7

     

ABC ab CS. …………… 14 分

（18）（本小题 13 分）

解：（I）依题意， (0.005 0.025 0.035 0.007 ) 10 1m      ，所以 0.028m...… 3 分

（Ⅱ）由题意可知， X的可能取值为{6000,7000,8000,9000} ．

任选 1 人，估计认为该款车性能的评分不低于 110 分的概率为 0.7 .……… 4 分

( 6000) C 0.7 0.3 0.343    P X ；……… 5 分

2 2

( 7000) C 0.7 0.3 0.441    P X ；……… 6 分

1 2

( 8000) C 0.7 0.3 0.189    P X ；……… 7 分

{#{QQABLQAAoggoAAJAAQgCEwF4CAIQkAAAACoGgAAEIAIAiQNABAA=}#}

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