云南省曲靖市第一中学2024届高三上学期第五次月考试题（12月）数学 PDF版含解析-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

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曲靖一中 2024 届高三教学质量监测试卷（五）
数 学
命题人：肖鸿译 审题人：侍芮娴
考试时间：120 分钟；满分：150 分.
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
 
2, ,0A a a
，
 
2
| 0B x x x  
，且
B A
，则
a
的值为（ ）
A.
1
B.
1
C.
1
D.
2
2.已知
22
18 13i
zi
，则
的虚部为（ ）
A.
13
B.
13i
C.
13
D.
18
3.已知
3 sin cos( )
3
 
 
，则
tan 2
（ ）
A.
3
3
B.
3
3
C.
3
D.
3
4.已知
F
是双曲线
2
21
3
xy 
的左焦点，
(1,3)M
，
P
是双曲线右支上的一动点，则
PF PM
的最小值为（ ）
A.
10
B.
2 3 10
C.
2 3 10
D.
2 3 3 2
5.根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭。周一去食
堂一楼和二楼的概率分别为
和
2
3
，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为
3
4
，若他周一去了食堂二
楼，那么周二去食堂一楼的概率为
1
2
，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）
A.
3
7
B.
4
7
C.
D.
4
5
6. 过点
(0, 2)P
作圆
C
:
2 2
4 3 0x x y  
的两条切线，设切点为
,A B
，则切点弦
AB
的长度为（ ）.
A.
14
B.
14
2
C.
14
4
D.
14
7
7.在
ABC
中，角
, ,A B C
所对的边分别为
, ,abc
，若
2C A
，
, ,abc
成等差数列，则
cos C
（ ）
A.
B.
3
4
C.
1
2
D.
4
5
8.已知函数
( )f x
及其导函数
( )f x
的定义域均为
R
，及
( ) ( )g x f x
，若
(1 2 )f x
，
(2 )g x
均为偶函数，则下列
说法正确的是（ ）
A.
(1) 0f
B.
( )g x
的周期为
2
C.
( 1) (3)f f 
D.
(0) (2)g g
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9.已知
,x y
都是正数，且
2 2x y 
，则下列说法正确的是（ ）
A.
xy
的最大值为
1
2
B.
1 2
x y
的最小值为
9
2
C.
2 2
4x y
的最小值为
4
D.
2x y
的最大值为
2
10. 已知抛物线
C
：
24y x
，
O
为坐标原点，直线
l
经过抛物线的焦点
F
，与抛物线
C
交于点
,A B
两点，设
1 1 2 2
( , ), ( , )A x y B x y
，抛物线
C
的准线与
x
轴的交点为
G
. 则下列说法正确的是（ ）
A.
1 2 4x x
B. 当
8AB
时，直线
l
的斜率为
1
B.
GF
始终平分
AGB
D.
min
( ) 8
AGB
S
.
11. 已知函数
( ) sin( )f x x
 
 
，如图
,A B
是直线
1
2
y
与曲线
( )y f x
的两个交点，若
3
AB
，则下列说法正
确的是（ ）.
A.
2, 3
 
 
B.
( )f x
在
,
6 6
 
 
 
 
上单调递增
C.
5
12
x
 
是
( )f x
的一条对称轴 D.
3
2
y x 
是曲线
( )f x
的一条切线
12.远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中。其基础主体结构可以看做是一个倒扣
的正四棱台
ABCD A B C D
 
. 如图所示，过
B
作底面
ABCD
的垂线，垂足为
G
. 记
B BG
 
，
B BC
 
，
GBC
 
，面
BB C C
 
与面
ABCD
所成角为
，面
BB C C
 
与面
BB G
所成角为
x
，
B C a
，
BC b
，
B G h
A. 正四棱台
ABCD A B C D
 
的体积为
2 2
1( )
3h a b ab 
B.
tan 2 tan
 
C.
sin sin sin
 
D.
cos cos cos
cos sin sin
x
 
 
{#{QQABKYQUogCAAAJAABhCAQ1YCAEQkACACKoOQFAAoAABAQFABAA=}#}
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知向量
(2, 2)a b 
 
，
(1,3)a b 
 
，则
2 2
a b 
 
___________.
14.已知等差数列
 
n
a
中，
19a 
，
33a 
. 记
1 2 ( 1, 2,3, )
n n
T a a a n  
，则数列
 
n
T
中的最小项为__________.
15. 若函数
sin( )
3
y x
 
（
*
N
）的图象在
0, 2
 
 
 
内恰好有两条对称轴，则实数
的值可以是________（写出
一个满足题意的
即可）.
16.已知函数
2
( ) 2 18
x
f x a ex  
，其中
0a
且
1a
. 若
( )f x
存在两个极值点
1 2
,x x
，则实数
a
的取值范围为
___________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10 分）已知在
ABC
中，
5A B C 
,
3sin( ) sinB C A 
，
2AB
.
（1）求
ABC
的外接圆半径
R
；
（2）求
sin A
.
18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥
P ABCD
中，
PA ABCD平面
，底面
ABCD
为梯形，且
//AD BC
，
AB AD
.
2 2PA AB BC AD 
.
E
为
PB
边上的一点，满足
2BE EP
 
.
（1）求证：
//PD ACE直线 面
；
（2）
F
为线段
BC
的中点，求直线
PF
与平面
ACE
所成角的余弦值.
19.（本小题满分 12 分）某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题，
（1）现有甲池塘，已知小池塘里有
10
条鲤鱼，其中红鲤鱼有
4
条。若兴趣小组捉取
3
次，每次从甲池塘中有放回地捉
取一条鱼记录相关数据. 用
X
表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出
X
的分布列，并求出
X
的数学期望
( )E X
.
（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共
10
条，其中红鲤鱼有
*
(0 10, )a a a N
条，身
为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了
1
条鱼，做好记录后放回池塘，设事件
A
为“从池塘中捉取鱼
3
次，其中恰
有
2
次捉到红鲤鱼”. 当
0
a a
时，事件
A
发生的概率最大，求
0
a
的值.
20.（本小题满分 12 分）已知数列
 
n
a
是公差为
( 0)d d
的等差数列，
n
S
是
 
n
a
的前
n
项和，
n N
.
（1）若
11a
，且
22
n n
a a
，求数列
 
n
a
的通项公式；
（2）若
13a d
，数列
 
n
b
a
的首项为
1
a
，满足
13
n n
b b
a a
，记数列
 
n
b
的前
n
项和为
n
T
，求
5
T
.
21.（本小题满分 12 分）已知抛物线
O
：
22x py
（
0p
），其顶点在坐标原点，直线
1y
与抛物线交于
M
，
N
两点，且
OM ON
.
（1）求抛物线
O
的方程.
（2）已知
C
：
2 2
( 2) 1x y 
，
1 2 3
, ,A A A
是抛物线
O
上的三个点，且任意两点连线斜率都存在. 其中
1 2 1 3
,A A A A
均
与
C
相切，请判断此时圆心
C
到直线
2 3
A A
的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.
22.（本小题满分 12 分）已知函数
( ) x
ax
f x e
与
ln
( ) x
g x ax
有相同的最大值.
（1）求
a
的值.
（2）证明：存在直线
y b
，其与两条曲线
( )y f x
和
( )y g x
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横
坐标成等比数列.
{#{QQABKYQUogCAAAJAABhCAQ1YCAEQkACACKoOQFAAoAABAQFABAA=}#}
曲靖一中 2024 届高三教学质量检测（五）
数学参考答案
一．单选题：BCDC ABAC
1 解答：因为
 
0,1B
且
B A
，集合
A
中必含元素
0,1
，所以
21a
，
1a 
，根据集合中元素的互异性可知：
1a 
.
所以选择
B
.
2.解：
41
n
i
，所以
22 2 1i i  
，
18 13 , 18 13z i z i   
，所以
的虚部为
13
，故选择
C
选项.
3.解答：因为
1 3
3 sin cos sin
2 2
 
 
即
3
tan 3
，由正切的倍角公式可知：
2 3
3
tan 2 3
1
13
 
. 所以选择
D
.
4.解答：设双曲线的右焦点为
F
，根据双曲线的定义可知：
2PF PA a PF PA
 
，易知当且仅当
, ,F P A
，三
点共线时，达到最小值即
min
( ) 2 3 2 3 10PF PA AF
   
. 故选择
C
.
5.解答：记小赵同学周一去食堂一楼为事件
A
，周二去食堂一楼为事件
B
，则
本题所求
1 3
( | ) ( ) 3
3 4
( | ) 1 3 2 1
( | ) ( ) ( | ) ( ) 7
3 4 3 2
P B A P A
P A B P B A P A P B A P A
 
    
. 故选择
A
.
6. 解 答 ： 易 知
2 2PC
， 圆
C
的半径
1r
， 所 以 切 线 长
7PA PB 
. 所以筝形
PACB
的面积为
1
2 7 1 7
2
PACB
S  
. 所以根据等面积法知：
1
72
PACB
S PC AB  
，所以
14
2
AB
. 故选择
B
.
7. 解 答 ： 因 为
2C A
，所以
3B A
 
，又因为
, ,abc
成等差数列，则
2b a c 
. 根据正弦定理可得：
2sin sin sinB A C 
即
2sin(3 ) sin sinA A C 
，展开得：
2 sin 2 cos 2 cos 2 sin sin sinA A A A A C  
，进一步得：
sin 2 (2cos 1) sin (1 2 cos 2 )A A A A 
， 因 为
sin 0A
， 可 得
2
8cos 2cos 3 0A A  
， 又 易 知
A
为 锐 角 ， 所 以
3
cos 4
A
，则
2
3 1
cos 2 ( ) 1
4 8
C  
.
故选择
A
.
8.解答：
(1 2 )f x
是偶函数，则
(1 2 ) (1 2 )f x f x
即
( )f x
关于
1x
对称，对
(1 2 ) (1 2 )f x f x
两边同时求导可
得：
2 (1 2 ) 2 (1 2 )f x f x
 
 
即
(1 2 ) (1 2 ) 0g x g x  
， 所 以
( )g x
关 于
(1,0)
对称，又因为
(2 )g x
是偶函数可得
(2 ) (2 )g x g x 
即
( )g x
关于
2x
对称. 从而得
( )g x
的周期为
4
. 所以
( )f x
的周期也为
4
.
又因为若
( )f x
满足上式，则
( )f x c
也满足上式. 故
( )f x
的值不确定，所以
A
错；
( )g x
的周期为
4
，所以
B
错；
( )f x
的周期也为
4
. 所以
( 1) (3)f f 
，所以
C
对；
( )g x
关于
(1,0)
对称，所以
(0) (2)g g 
，所以
D
错； 故选择
C
.
二．多选题：9．ABD 10．BC 11．AD 12. ACD
9.解答：
2 2 2 2x y xy  
可得
1
2
xy
，当且仅当
2 1x y 
，即
1
1, 2
x y 
时成立，所以
A
选项正确；
1 2 2 2 2 2
( 2 )( ) 5 5 2 9
y x y x
x y x y x y x y
   
，故
1 2 9
2x y
 
，当且仅当
2
3
x y 
时成立，所以
B
选项正确；
2 2 2
( 2 ) 4 4 4x y x xy y  
，所以
2 2 1
4 4 4 4 4 2
2
x y xy    
，仅当
2 1x y 
，即
1
1, 2
x y 
时成立，所以
C
选项错误；
21
( 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2
x y x y xy xy      
，当且仅当
2 1x y 
，即
1
1, 2
x y 
时成立，所以
D
选
项正确；
故选
ABD
.
10. 解答：显然直线
l
的斜率不为
0
，设直线
l
的方程为：
1x ny 
，联立直线与抛物线得
24 4 0y ny  
，则
1 2 4y y  
，
所以
2 2
1 2
1 2 1
16
y y
x x  
，所以
A
选项错误；
又因为
2
1 2 1 2
( ) 4 4 4 8AB x x p n y y n    
可得
21n
，即
11nk
 
，所以
1k 
，所以
B
选项正确；
即证
0
AG BG
k k 
，即
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2( ) 8 8 0
1 1 2 2 2 ( ) 4 2 ( ) 4
y y y y ny y y y n n
x x ny ny n y y n y y n y y n y y
   
  
   
所以
C
选项正确；
由 上 述 知 ：
1
2
AGB
S AB d
 
， 已 知 直 线 方 程 为 ：
1 0x ny  
， 则
2
2
1
d
n
， 所 以
2 2
2
1 1
(4 4) 4 1 4
21
AGB
S n n
n
 
，当且仅当
0n
时成立，所以
min
( ) 4
AGB
S
，所以
D
选项错误；
故选择
BC
.
11. 解 答 ： 设
1 2
1 1
( , ), ( , )
2 2
A x B x
， 则
2 1 3
x x
 
， 因 为
1
sin 2
x
，可得
12
6
x k
 
，
2
52
6
x k
 
， 所 以
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