内蒙古自治区锡林郭勒盟2023-2024学年高三下学期开学考试 数学（文） 含解析

3.0 envi 2025-01-17 5 4 2.71MB 8 页 3知币
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2024 届高三年级开学联考
文数试题
本试卷共 4页，23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域
均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域
内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷
一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 若
z=1+i3+i5+i7
，则
z
=
A.1
−
2i B.1+2i C.1
−
i D.1+i
2.已知命题 p:
∀x∈R , 2x>x2
，命题 q:在△ABC 中,若sin A>sin B,则cos A<cos B,则下列命题是真命题的为
A. p
∧
q B. (¬p)
∧
q C. p
∧
(¬q) D.(¬p)
∧
(¬q)
3. 若单位向量 a，b的夹角为 60°，则|a
2b|=
A.
❑
√
3
B.
❑
√
7
C.3 D.7
4. 右图为某一正三棱柱的侧视图,则该正三棱柱的体积为
A. 16
❑
√
3
cm3 B.8
❑
√
3
cm3
C.4
❑
√
3
cm3 D.
9❑
√
3
2
cm3
5.为了积极推进国家乡村振兴战略,某示范村不断自主创新,拓宽村民增收渠道,近年来取得了
显著成效.据悉该村 2023 年经济总收入是 2022 年的 2倍,为了更好地了解该村经济收入变化
情况,统计了该村两年的经济收入构成比例,得到如图所示的条形图和饼图.则以下说法错误的是
A.2023 年“种植收入”和 2022 年“种植收入”一样多
B.2023 年“养殖收入”与“第三产业收入”之和比 2022 年的全年总收入还多
C.2023 年“外出务工收入”是 2022 年“外出务工收入”的
1
3
D.2023 年“其他收人”比 2022 年“其他收入”的 2倍还多
6.若数列(an}的前 n项和 Sn 满足
Sn=n2+n+3
，则
A.数列(an}为等差数列 B.数列(an}为递增数列
C. a1，a3，a5为等差数列 D. S4
−
S₂，S6
−
S4，S8
−
S6不为等差数列
7.已知圆 O：x²+y2=1，P(2，2)，过点 P作圆 O的切线，切点分别为 A、B，则 cos∠APB=
A.
❑
√
7
7
B.
❑
√
7
3
C.
3
4
D.
❑
√
7
4
8.cos
20 °
(
❑
√
3
tan 50°-1)=1,则
α
=
A.
1
2
B.1 C.
3
2
D.2
9.若
a=¿
log52，b=
❑
√
2
2
, c=log43, 则
A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b
10.已知数列{an}的前 n项和分别为 Sn，
Sn+an=1
，若任取 n∈N*,不等式
¿
<Sn恒成立,则实数 λ的取值范围为
A.(
−1
2
，
3
4
) B. (
−1
2
，
1
2
) C. (
−1
，
1
2
) D. (
−1
，
3
4
)
11.已知 A、B是抛物线 C: x2=4y上不同的两点，O为坐标原点，若
⃗
OA ∙
⃗
OB=0
，M(4,0)在直线 AB 上的射影为
H，则|OH|的最大值是
A.2
❑
√
5
B.
❑
√
5
C.2
❑
√
2
D.
❑
√
2
12.若函数
f
(
x
)
=
(
2a − 2
)
x −e2x+lnx+ln 2 a
存在零点，则 a的最小值为
A.
e−1
B.e C.
e−2
D.
e2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~23 题为选考题，
考生根据要求作答。
二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分。
13.若实数 x,y 满足约束条件
{
x+y ≥ 4
x − y ≤ 2
y ≤ 4
，则 y-2x 的最小值为_____________。
14.已知数列(an}为正项等比数列,若
a3+a4+a6+a8+a9=2
，
1
a3
+1
a4
+1
a6
+1
a8
+1
a9
=18
，则 a6=_______.
15.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为
3❑
√
3
2
，∠CAB=60°，AB=1，BC=
❑
√
3
，则该三棱 柱
ABC-A1B1C1的外接球的表面积为____________。
16.已知函数
f
(
x
)
=Asin
(
ωx+φ
)
(
A>0，ω>0，0<φ<π
2
)
及其导函数
f'
(
x
)
=ωA cos
(
ωx+φ
)
的图像如图所示，
若函数
y=f
(
x
)
− m
在[0，
7
6π
]上恰有 3个不同的零点 x1，x2，x3，且 x1< x2< x3，则 x1+2x2+ x3=________。
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)
中华人民共和国第十四届冬季运动会(简称“十四冬”)于2024 年2月17 日至 27 日在内蒙古举行,为了解当地
民众对“十四冬”的了解程度,某社会调查机构随机抽取500 名当地民众参与问卷测试,并将问卷得分绘制频数分布
表如下:
得分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
男性人数 22 41 62 65 55 30 15
女性人数 13 22 40 59 46 20 10
(1)将民众对“十四冬”了解程度分为“比较了解”(得分不低于 60 分)和“不太了解”(得分低于 60 分)两类,
完成下列 2
2列联表,并判断是否有90%的把握认为“民众对“十四冬”了解程度”与“性别”有关?
不太了解 比较了解 总计
男性
女性
总计
(2)从参与问卷测试且得分不低于 80 分的 jumin 中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这 5人中随机抽取
3人组成一个“十四冬”宣传队，求抽取的 3人恰好是两男一女的概率。
附:
K2=n¿¿
，其中 n=a+b+c+d。
临界值表:
18. (本小题满分 12 分)
在锐角
Δ
ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，请从以下条件①，条件②中选择一个作为已知.
① csin(C+B-A)=asin(B+A) ② (b-c)sinC= (b+a)(sinB-sin A).
(1) 求角A;
(2) 求tanC+tanB的取值范围.
19.(本小题满分 12 分)
如图，在四面体 ABCD 中，
∠
ACB=
∠
ACD=60°，BC
⊥
CD，BC=CD.
(1) 证明：AC
⊥
BD
(2) 若AB=
❑
√
7
，BC=2，求四面体 ABCD 的体积
20. (本小题满分 12 分)
已知椭圆E：
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
经过点(2,
❑
√
2
)，右焦点为 F(2,0)，A，B分别为椭圆E的上顶点和下顶点。
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)已知过（0，1）且斜率存在的直线 l与椭圆E交于C、D两点，直线 BD 与直线 AC 的斜率分别为 k1和k2,求
k1
k2
的值。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数
f
(
x
)
=lnx − ax +a ,
(
a∈R
)
,
且
f
(
x
)
≤0
恒成立。
(1) 求实数 a取值的集合;
(2) 证明：
ex≥ x2+
(
e − 3
)
x+2+lnx
.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(选修4-4，坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分)
在直角坐标系xOy 中，已知曲线C：
x2+y2=x+¿y∨¿
(其中 x>0)，曲线C上的点 A、B满足 OA
⊥
OB，以坐标
原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。
(1) 求曲线C的极坐标方程；
(2) 求
∆
OAB 面积的最大值。
23.(选修4
−
5,不等式选讲)(本小题满分 10 分)
已知
f
(
x
)
=
|
x+1
|
+
|
x − m
|
, m ∈R
.
(1)当m=1 时,求
f
(
x
)
>5 的解集;
(2)对任意实数 a，b，不等式|2b+a|+|2b-a|
≥
|a|
f
(
x
)
(a≠0)有解,求实数 m的取值范围。
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