青海省西宁市2023-2024学年高三上学期期末联考理科数学答案

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西宁市普通高中 2023—2024 学年第一学期期末联考测试卷

高三年级数学理科学科参考答案：

1．D 2．D 3．A 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．C 11．C 12．C

13． 14． 15．14 或23 16．

17．（1）由题意可得，，且，-------------1 分

则，所以，-------------2 分

所以，将点代入，可得，

即，解得，且，则，----------5 分

所以 .-----------6 分

（2）由（1）可得，

令，，------------8 分

解得，，------------10 分

18（1）∵四边形 ABCD 中，，，，，

M为AD 的中点，且，

∴四边形 ABNM 为正方形，且边长为 1，

∴题图 2中，四边形 EMNF 是边长为 1的正方形，故

又，，∴ ，----------1 分

∴，又，，平面 MDCN，平面 MDCN，

∴平面 MDCN，-----------2 分

∵平面 MDCN，∴ ，

易知，∴ ，∴ ，

又，平面，平面，∴ 平面；-----------4 分

（2）解法一：由（1）知平面 MDCN，又，

以N为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，-----------5 分

则，，，，

∴，，，------6 分

设平面 FND 的法向量为，则，

令，令，则，∴ ，--------------8 分

设平面 PND 的法向量为，则，

令，则，，∴ ，---------------10 分

∴，------------11 分

∴，------------12 分

∴二面角的正弦值为．

解法二：如图，取 NC 的中点 O，连接 PO，则，

∴平面 MDCN，

∵平面 MDCN，∴ ，

过O作，垂足为 H，连接 PH，则就是二面角的平面角，

又，，∴ ，∴ ，

∵平面 MDCN，平面 FND，∴平面平面 MDCN，

∴二面角的正弦值为．

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