陕西省西安中学2024届高三下学期模拟考试（五）数学（理） 含答案

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西安中学高 2024 届高三模拟考试（五）
理科数学
（满分：150 分时间：120 分钟） 命题人：党江平
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．设集合 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．1 D．1或2
2．已知复数 ，则复数 的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B．0 C．D．
4．西安地铁 2号线是西安市第一条建成运营的地铁线路，也是贯穿市区南北中轴线的核心线路．某天放学
甲乙两位同学同时从凤城五路站坐上了开往常宁宫方向的地铁，甲同学将在体育场站之前的任意一站下车，
乙同学将在航天城站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则数列 的公差为（ ）
A．B．2 C．D．1
6．已知直线 和平面 ，且 ，则“ ”是“ 平面 ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
7．已知抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．4或12 D．12
8．已知函数 在点 处的切线均经过坐标原点，其中 ， ，
则 （ ）
A．B．C．D．
9．已知函数 ，若 是 的一个极大值点，则 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，函数 的部分图象，若点 是 中点，则点 的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
11．已知正三棱柱 ，过底边 的平面与上底面交于线段 ，若截面 将三棱柱
分成了体积相等的两部分，则 （ ）
A．B．C．D．
12 ．已知正项数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且满足 ，则不等式
成立的 的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．10
二、填空题（本大题共 4小题，共 20 分）
13．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 _______．
14．已知 ，则 的最小值为_______．
15．已知函数 ，若 ，则 的取值范围为_______．
16．已知点 分别为双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆在第一象限与
双曲线的右支交于点 ，与双曲线的渐近线 交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 ，
则_______．
三、解答题（本大题共 7小题，第 17-21 题为必考题，第 22、23 题为选考题）
（一）必考题（共 60 分）
17．（12 分）在 中，角 的对边是 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 边上的高 为 边上的中线 为 ，求 的面积．
18．（12 分）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球
在甲手中时，若骰子点数大于 3，则甲将球传给乙，若点数不大于 3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若
骰子点数大于 4，则乙将球传给甲，若点数不大于 4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于
3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于 3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．
（1）求投掷 3次骰子后球在乙手中的概率；
（2）设前三次投郑骰子后，球在甲手中的次数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
19．（12 分）已知陏圆 的左右焦点分别为 ，过 的动直线 与 交于
两点，当 轴时， 且直线 与直线 的斜率之积为 ．
（1）求椭圆 方程；
（2）若 的内切圆半径为 ，求直线 的方程．
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