山西省阳泉市第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试 数学 含解析

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阳泉一中2023-2024学年高二数学期中考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目
要求的．
1．对两个变量 、 进行线性相关检验，得线性相关系数 ，对两个变量 、 进行线性相关检验，得
线性相关系数 ，则下列判断正确的是（ ）
A．变量 与 正相关，变量 与 负相关，变量 与 的线性相关性较强
B．变量 与 负相关，变量 与 正相关，变量 与 的线性相关性较强
C．变量 与 正相关，变量 与 负相关，变量 与 的线性相关性较强
D．变量 与 负相关，变量 与 正相关，变量 与 的线性相关性较强
2．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 的分布列为
则下列说法错误的是（....）
A． B． C． D．
4.从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
5. 的展开式中， 的系数是（ ）
A．B．C．D．
6．已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代号 12345
成交额 y（万元） 50 60 70 80 100
若 关于 的线性回归方程为 ，则根据回归方程预测该店 2023 年“五一”黄金周的成交额是
（....）
A．108 万元 B．96 万元 C．84 万元 D．120 万元
7.已知三个正态密度函数 （ ， ）的图像如图所示，则（... .）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给
甲乙丙 3人，每人至少分得 1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（....）
A．180 B．150 C．120 D．210
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分
部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的是
A. 在做回归分析时 ,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B. 某地气象局预报 :6月 9日本地降水概率为 90% ,结果这天没下雨 ,这表明天气预报并不科学
C. 回归分析模型中 ,残差平方和越小 ,说明模型的拟合效果越好
D. 在回归直线方程 中 ,当解释变量每增加 1个单位时 ,预报变量多增加 0.1个单位
10.若 ，则实数 的值可以为 ( )
A. - 3 B. - 1 C. 0 D. 1
11．甲罐中有 5个红球，5个白球，乙罐中有 3个红球，7个白球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐
中随机取出一球、 表示事件“从甲罐取出的球是红球”， 表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件
“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（....）
A． 、 为对立事件 B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．阳泉一中高二期中卷有 8道单选题，小明对其中 5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是
0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为 0.25，则小明从这 8道题中随机抽取 1道做对的概率为__________．
13．某科研院校培育枇杷新品种，新培育的枇杷单果质量 （单位：g）近似服从正态分布 ，现有该新品
种枇杷 100000 个，估计单果质量不低于 28g 的枇杷有 个.
附：若 ，则 ， ，
.
14．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积 3分，第二局胜利积 2分，失败均
积1分，某人每局比赛胜利的概率为 ，设他参加一次答题活动得分为 X，则 E(X)=_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）数列 的前项和为 ，且 ，在等差数列 中， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前项和 ．
16．（15分）如图，已知正方体 中，点 是棱 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若点 是线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17．（15 分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学 校
医随机抽取了 80 名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下列联表：
（1）依据 的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生锻 炼
的经常性；
（2）若列联表中的所有样本观测数据都变为原来的10 倍，再做第
（1）问，得到的结论还一样吗？请说明理由；附：①
，其中 .
② 临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（17分）习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所
养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市
10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：
敬老院A B C D E F G H I K
满意度x（%）20 34 25 19 26 20 19 24 19 13
投资原y（万元） 80 89 89 78 75 71 65 62 60 52
（1）求投资额 关于满意度 的相关系数；
（2）我们约定：投资额 关于满意度 的相关系数 的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性
相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改
为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额 关于满意度 的线性回归方程（系数精确到0.1）
参考数据： ， ， ， ，
.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
.线性相关系数
19．（17 分）为丰富和活跃学校教师业余文化生活,提高教师身体素质,展现教师自我风采,增进教师沟通交流，阳泉
一中举办了2024 年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之间进行,每场比赛均能分
出胜负,已知该学校为本次决赛提供了1000 元奖金，并规定:若其中一人赢的场数先达到4场,则比赛终止,同时该人
获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场,则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.
若每场比赛小胡赢的概率为 ,每场比赛相互独立.
(1)在已进行的 5场比赛中小胡赢了3场,若比赛继续进行到有人先赢4场,求小胡赢得全部奖金的概率;
(2)若比赛进行了 5场时终止(含自然终止与意外终止),记小胡获得奖金数为 X,求X的分布列和数学期望.
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