上海市徐汇区2024届高三下学期4月二模考试 数学 含答案

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2023 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学　试卷
2024.4
考生注意：
1．本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分.
2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.
3．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.
4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果．
1. 已知集合 ，集合 ，那么 .
2. 已知复数 （ 为虚数单位），则 .
3. 在 中， ， ， ，则 的外接圆半径为 .
4. 若正数 满足 ，则 的最小值为 .
5. 已知数列 的前 项和为 ，若 （ 是正整数），则 .
6. 若圆 与圆 内切，则实数 ＝ .
7．已知 的二项展开式中各项系数和为 ，则展开式中常数项的值为 .
8. 已知函数 在 处有极值 ，则 .
9. 同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量 表示结果中有正面朝上， 表示结果中没有正面朝
上，则 .
10. 将四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四种颜色可供使
用，则不同的染色方法总数为_______．
11. 如图，两条足够长且互相垂直的轨道 相交于点 ，一根长度为 的直杆
的两端点 分别在 上滑动（ 两点不与 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不
计），直杆上的点 满足 ，则 面积的取值范围是 .
12. 如 图 所 示 ， 已 知 满 足 ， 为 所 在 平 面 内 一 点 ． 定 义 点 集
.若 存 在 点 ， 使 得 对 任 意 ，
满足 恒成立，则 的最大值为 .
二、选择题（本大题共有 4题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4分，第 15-16 题每题 5分）每题有且只有一
个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 在下列函数中，值域为 的偶函数是（ÙÙÙÙ）
A. B. C. D.
14. 为了研究 y关于 x的线性相关关系，收集了 5组样本数据(见下表)：
若已求得一元线性回归方程为 ，
则下列选项中正确的是（ÙÙÙÙ）
A．
B．当 时，y的预测值为 2.2
C．样本数据 y的第 40 百分位数为 1
D．去掉样本点 后，x与y的样本相关系数 r不会改变
15. 已知函数 ，其中 ，实数 ，下列选项中正确的是（ÙÙÙÙ）
A. 若 ，函数 关于直线 对称 B. 若 ，函数 在 上是增函数
A
BC
x1 2 3 4 5
y0.5 0.9 1 1.1 1.5
C. 若函数 在 上最大值为 1，则
D. 若 ，则函数 的最小正周期是
16. 三棱锥 各顶点均在半径为 的球 的表面上， ，二面角
的大小为 ，则对以下两个命题，判断正确的是（ÙÙÙÙ）
① 三棱锥 的体积为 ；② 点 形成的轨迹长度为 .
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
三、解答题（本大题共有 5题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. （本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
已知函数 ，其中 ．
（1）求证： 是奇函数；
（2）若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
【解】（1）
（2）
18. （本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面圆的圆心， 为圆 的直径，且 ， 是底面圆
的内接正三角形， 为线段上一点，且 ．
（1）证明： 平面 ；
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