上海市闵行区2024届高三下学期二模试题 数学 含答案

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2023 学年第二学期高三年级学业质量调研
数学试卷
（考试时间 120 分钟，满分 150 分）
考生注意：
1．本试卷共 21 题，答题纸共 2页．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考
生号，粘贴考生本人条形码．
2．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸 、
试卷上作答一律不得分．
3．用 2B 铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）
考生应在答题纸相应位置直接填写结果．
1.集合 ， ，则 ________.
2.复数 满足 （ 为虚数单位），则 _________.
3.始边与 轴的正半轴重合的角 的终边过点 ，则 =_________.
4.在 的二项展开式中， 项的系数为_________.
5.正实数 满足 ，则 的最大值为_________.
6.等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 _________.
7.现有 个工程队承建某工程的 个不同项目，每个工程队承建一个项目，其中甲工程
队不能承建 项目，则不同的承建方案有_________种.（用数字作答）
8. 函数 在 处的切线方程为_________.
9.已知 、 是空间中两个互相垂直的单位向量，向量 满足 ，且 ，
当 取任意实数时， 的最小值为_________.
10.双曲线 的左右焦点分别为 ，过坐标原点的直线与 相交于
两点，若 ，则 _________.
11.对于任意的 ,且 ，不等式 恒成立，则实数 的
取值范围为_________.
12.已知空间中有 2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的
等边三角形.例如,空间中 3个点最多可连接成 1个等边三角形，空间中 4个点最多可连
接成 4个等边三角形.当增加到 8个点时，空间中这 8个点最多可连接成________个等
边三角形.
二、选择题（本大题共有 4题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4分，第 15-16 题每题 5
分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小
方格涂黑．
13.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14.已知 ， 为奇函数，当 时， ，
则集合 可表示为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
15.某疾病预防中心随机调查了 339 名50 岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患
病的关系，调查数据如下表：
不吸烟者 吸烟者 总计
不患慢性气管炎者 121 162 283
患慢性气管炎者 13 43 56
总计 134 205 339
假设 ：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.
通过计算统计量 ，得 ，根据 分布概率表:
, ,
, .
给出下列 3个命题，其中正确的个数是（ ）
“① 患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于 ；
② 有 的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
③ 分布概率表中的 、 等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事
件一般认为不太可能发生.
（A） 个 （B） 个 （C） 个 （D） 个
16.已知 ，集合 ， ，
.
关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：集合 表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合 表示的平面图形的面积不大于 .
（A）①真命题；②假命题 （B）①假命题；②真命题
（C）①真命题；②真命题 （D）①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有 5题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写
出必要的步骤．
17.（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
在锐角 中，角 所对边的边长分别为 ，且
.
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围.
18.（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
如图，已知 为等腰梯形, , , 平 面 ,
.
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小.
19.（本题满分 14 分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 4分，第 3小题满分 6分）
ChatGPT 是OpenAI 研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言
处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答
可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用 ChatGPT 对某一
类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为 0.98；
如果出现语法错误，它回答正确的概率为 0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概
率为 0.1，且每次输入问题，ChatGPT 的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想
挑战一下 ChatGPT，小张和ChatGPT 各自从给定的10 个问题中随机抽取9个作答，已
知在这 10 个问题中，小张能正确作答其中的 9个.
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被ChatGPT 回答正确的概率；
（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT 答对题数的期望与方差.
B
C
A
D
P
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