上海市金山区2024届高三下学期二模试题 数学 含答案

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高三数学试卷
（满分：150 分，完卷时间：120 分钟）
（答案请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）考生应在
答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合 ， ，则 ___________．
2．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为___________．
3．函数 的定义域是___________．
4．已知复数 满足 ，则 的模为___________．
5．设公比为 2的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________
_．
6．若长方体 的体积是 ， 为棱 的中点，则三棱锥 的体积是
___________．
7．设 ( )，若 为奇函数，则曲线 在点 处的切
线方程为___________．
8．已知双曲线 (，)，给定的四点 、 、 、
中恰有三个点在双曲线 上，则该双曲线 的离心率是___________．
9．为了考察某种 药物预防疾病的效果， 进行动物试
验，得到如右图所示列联表：
取显著性水平 ，若本次考察结果支持“药
物对疾病预防有显著效果”，则 ( 40 ，
)的最小值为___________．
(参考公式： ；
参考值： ）
10．在 的展开式中，记 项的系数为 ，则 _____
（第 9题图）
______．
11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如
图 ， 线 段 、 是 救 生 栈 道 的 一 部 分 ， 其 中
， ， 在 的 北 偏 东 方
向， 在 的正北方向， 在 的北偏西 方向，
且 ．若救生艇在 处载上遇险游客需要尽快
抵 达 救 生 栈 道 ， 则 最 短 距 离 为 _
__________m．(结果精确到 1 m)
12．已知平面向量 、 、 满足： ， ，则 的最小值为_____
______．
二、选择题（本大题共有 4题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4分，第 15-16 题每题 5分）每题有
且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．若抛物线 的焦点是椭圆 的一个顶点，则 的值为( )．
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8
14．下列说法不正确的是( )．
(A) 一组数据 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22 的第 60 百分位数为 14
(B) 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
(C) 若线性相关系数 越接近 1，则两个变量的线性相关程度越高
(D) 对具有线性相关关系的变量 、 ，且回归方程为 ，若样本点的中心为
，则实数 的值是
15 ．如图，点 为正 方形 的中心，△ 为正三角
形，平面 ⊥平面 ， 是线段 的中点，
则以下命题中正确的是( )．
(A) (B)
(C) 、 、 三点共线 (D) 直线 与 相交
16．设 ，有如下两个命题：
①函数 的图像与圆 有且只有两个公共点；
②存在唯一的正方形 ，其四个顶点都在函数 的图像上．
则下列说法正确的是( )．
N
M
E
D
C
B
A
（第 11 题图）
（ 第 15 题
图）
(A) ①正确，②正确 (B) ①正确，②不正确
(C) ①不正确，②正确 (D) ①不正确，②不正确
三、解答题（本大题共有 5题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的
步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
已知函数 ，记 ， ， ， ．
（1）若函数 的最小正周期为 ，当 时，求 和 的值；
（2）若 ， ，函数 有零点，求实数 的取值范围．
18．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 （及其内
部）以 边所在直线为旋转轴旋转 得到的，点 是 的
中点，点 在 上，异面直线 与 所成的角是 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求二面角 的大小．
19．（本题满分 14 分，第 1小题满分 5分，第 2小题满分 9分）
有标号依次为 1，2，…，
n
(，)的
n
个盒子，标号为 1号的盒子里有 3个红球
和3个白球，其余盒子里都是 1个红球和 1个白球．现从 1号盒子里取出 2个球放入 2号盒子，
再从 2号盒子里取出 2个球放入 3号盒子，…，依次进行到从
n−1
号盒子里取出 2个球放入
n
号
盒子为止．
（1）当 时，求 2号盒子里有 2个红球的概率；
（2）设
n
号盒子中红球个数为随机变量 ，求 的分布及 ，并猜想 的值
（无需证明此猜想）．
（ 第 18 题
图）
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