天津市八校联考2023-2024学年高三上学期期末质量调查数学答案

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数学答案 第 1页 共 10 页
2024 年天津市八所重点学校高三毕业班联考
数学试卷 评分标准
一．选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45 分．
1. B 2．B 3．C 4. A 5.C 6.D 7. A 8．A 9.B
二．填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分．试题中包含 2个空的，答对 1个空的
得3分，全部答对的得 5分．
10.
2
11.
10
12．
 ，
（四个答案写出其中一个即可）
13．正，0.99 14．3， 
15．
三.解答题(本大题 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16. （本小题满分 14 分）
（1） 解：
法一：
由
0cos22 Cabc
，根据正弦定理有
0cossin2sin2sin CABC
，..............1 分
因为
)sin(sin CAB
，所以
0cossin2sincos2cossin2sincossin2)sin(2sin CACACACCACAC
整理得
0sincos2sin CAC
，..............2 分
因为
，所以
2
1
cos A
因为
),0( A
，所以
3
A
..............4 分
法二：
由
0cos22 Cabc
，根据余弦定理有
0
2
22
222
ab
cba
abc
..............1 分
整理得
02 2222 cbabbc
，即
bcacb 222
.............2 分
2
1
22
cos
222
bc
bc
bc
acb
A
，因为
),0( A
，所以
3
A
. .............4 分
（2）因为
3a
由（）知
3
A
（ⅰ）由正弦定理
C
c
A
a
sinsin
，
Csin
2
6
2
3
3
，
4
6
sin C
..............5 分
又因为
ac
，所以
C
为锐角，
4
10
cos C
..............6 分
{#{QQABZYQEggggQBIAARgCUQVICgEQkAECCIoOBAAIoAAAQRFABCA=}#}
数学答案 第 2页 共 10 页
所以
4
15
cossin22sin CCC
，
4
1
sin212cos 2CC
..............8 分
所以
8
315
2
3
4
1
2
1
4
15
sin2coscos2sin)2sin(
ACACAC
.......10 分
（ⅱ）法一：由
0cos22 Cabc
，将
3a
，
，
4
10
cos C
代入，
解得
4
306
b
，..............12 分
16
15333
4
6
4
306
3
2
1
sin
2
1
CabS ABC
..............14 分
法二：
)sin(sin ACB
8
306
2
3
4
10
2
1
4
6
sincoscossinsin
ACACB
..............12 分
.
16
15333
8
306
2
6
3
2
1
sin
2
1
BacS ABC
..............14 分
17. （本小题满分 15 分）
（1）证明：法一：
取
CD
的中点
M
，连接
EM
因为
AB
∥
CD
，
AB
＝1
2
CD
，所以
AB
∥
DM
，且
AB
=
DM
,
所以四边形
ADMB
为平行四边形，所以
AD
∥
BM
，且
AD
BM
，..............2 分
又因为四边形
ADEF
为正方形，
所以
EF
∥
BM
，且
EF
=
BM
，所以四边形
FEMB
为平行四边形， ..............3 分
所以
BF
∥

，又因为
CDEBF 面
，
CDEEM 面
..............4 分
所以
BF
∥平面 CDE
法二：
因为
AB
∥
CD
，
CDEAB 面
，
CDECD 面
，
所以
AB
∥平面 CDE，..............2 分
同理，
AF
∥平面 CDE，又
AB
∩
AF
＝A，所以平面 ABF∥平面 CDE，.............3 分
因为 BF⊂平面 ABF，..............4 分
所以 BF∥平面 CDE.
{#{QQABZYQEggggQBIAARgCUQVICgEQkAECCIoOBAAIoAAAQRFABCA=}#}
数学答案 第 3页 共 10 页
(2)因为平面 ADEF⊥平面 ABCD，平面 ADEF∩平面 ABCD＝AD，CD⊥AD，
CD⊂平面 ABCD，
所以 CD⊥平面 ADEF，又DE⊂平面 ADEF，
故CD⊥ED.
而四边形 ADEF 是正方形，所以

⊥

，
又CD⊥AD，以
为原点，DA
，
DC
，
DE 所在直线分
别 为
x
轴 、
y
轴 、
z
轴，建立空间直角坐标系
Dxyz
..............5 分
AD＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，F(1,0,1)，C(0，2,0)，E(0，0,1)，P(0，1,
2
1
)
)
2
1
,1,0(DP
..............6 分
设平面 BDF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则
n·DB
→＝0，
n·DF
→＝0，
即x＋y＝0，
x＋z＝0，
令x＝1，则y＝z＝－1，所以 n＝(1，－1，－1)．............8 分
设直线 DP 与平面 BDF 所成角的大小为
，..............9 分
则sin
＝|cos〈
DP
，n〉|＝
＝
..............11 分
所以直线 DP 与平面 BDF 所成角的正弦值为 
.(设角或答话写一个即可)
(3)取平面 CDE 的一个法向量DA
→＝(1,0,0)，..............12 分
设平面 BDF 与平面 CDE 夹角的大小为θ，..............13 分
则cosθ＝|cos〈DA
→，n〉|＝
nDA
nDA
＝3
3...............15 分
所以平面 BDF 与平面 CDE 夹角的余弦值是 3
3.(设角或答话写一个即可)
P
x
z
y
{#{QQABZYQEggggQBIAARgCUQVICgEQkAECCIoOBAAIoAAAQRFABCA=}#}
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