天津市八校2024届高三下学期4月二模联考试题 数学 含答案

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天津八校高三年级联合模拟考试
数学（二）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分 150 分。考试时
间120 分钟。
第Ⅰ卷（本卷共 9题，共 45 分）
参考公式：三棱锥的体积公式
V=1
3Sℎ
，其中
S
表示棱锥的底面积，
ℎ
表示棱锥的高.
如果事件
A , B
互斥，那么
P
(
A∪B
)
=P
(
A
)
+P
(
B
)
.
如果事件
A , B
相互独立，那么
P
(
AB
)
=P
(
A
)
P
(
B
)
.
一、选择题（本大题共 9小题，每小题 5分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．设集合
A={−3,2,5}
,
,
C={−1,4,5}
，则
(
A ∩C
)
∪B=¿
（ ）.
A．
{5,6}
B．
{−3,0,1,5}
C．
{0,1,5,6}
D．
{0,2,4}
2．已知
a , b ∈R
，则“
a=b=0
”是“
|
a+b
)
=0
”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设
a=20.1 , b=
(
1
2
)
−0.5
, c=log32
，则
a , b , c
的大小关系为（ ）.
A．
a>b>c
B．
b>a>c
C．
c>a>b
D．
c>b>a
4．已知函数
y=f
(
x
)
的部分图象如图所示，则
f
(
x
)
的解析式可能为（ ）.
A．
f
(
x
)
=ex+1
ex−1
B．
f
(
x
)
=ex−1
ex+1
C．
f
(
x
)
=x❑2
3
√
x❑4−1
D．
f
(
x
)
=x
3
√
x❑4−1
5．已知数列
{an}
为不单调的等比数列，
a2=1
4, a4=1
16
，数列
{bn}
满足
bn=1− an+1
，则数列
{bn}
的最大项
为（ ）.
A．
3
4
B．
7
8
C．
9
8
D．
5
4
6．有人通过调查统计发现，儿子成年时的身高与父亲的身高呈线性相关，且儿子成年时的身高
y
（单位：
cm
）与父亲的身高
x
（单位：
cm
）的经验回归方程为
^
y=0.839 x+28.957
，根据以上信息，下列判断正确
的为（ ）.
A．儿子成年时的身高与父亲的身高的样本相关系数
r=0.839
B．父亲的身高为
170 cm
，儿子成年时的身高一定在
171 cm
到
172 cm
之间
C．父亲的身高每增加
1cm
，儿子成年时的身高平均增加
0.839 cm
D．儿子在成年时的身高一般会比父亲高
7．已知正方体
ABCD− A1B1C1D1
的外接球的体积为
36 π
，点
E
为棱
AB
的中点，则三棱锥
C1− AED
的
体积为（ ）.
A．
2
3
B．
2❑
√
3
C．
4❑
√
2
3
D．
16 ❑
√
3
8．将函数
f
(
x
)
=cos❑2x −sin xcos x − 1
2
的图象向左平移
π
8
个单位长度得到函数
g
(
x
)
的图象，下列结论正
确的是（ ）.
A．
g
(
x
)
是最小正周期为
π
的偶函数 B．点
(
π
4,0
)
是
g
(
x
)
的对称中心
C．
g
(
x
)
在区间
[−π
12 ,π
3]
上的最大值为
1
2
D．
g
(
x
)
在区间
{0,π
4}
上单调递减
9．已知抛物线
y❑2=2px
(
p>0
)
的焦点为
F
，抛物线上的点
M
(
4, y0
)
到
F
的距离为 6，双曲线
x2
a2−y2
b2=1
(
a>0,b>0
)
的左焦点
F1
在抛物线的准线上，过点
F1
向双曲线的渐近线作垂线，垂足为
H
，则
H
与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）.
A．2 B．
❑
√
3
C．
❑
√
5
D．3
第Ⅱ卷（本卷共 11 小题，共 105 分）
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分.试题中包含两个空的，答对 1个的给 3
分，全部答对的给 5分）
10．
i
为虚数单位，则
3−2i
1−2i=¿
Ð .
11．在
(
x3−❑
√
2
x
)
8
的展开式中，
x❑3
的系数为 Ð .
12．已知直线
y=2x+1
与圆
x❑2+y❑2+2ax +2y+1=0
(
a ≠ 0
)
交于
A , B
两点，直线
mx+y+2=0
垂直平
分弦
AB
，则
a
的值为 Ð .
13．两个三口之家进行游戏活动，从 6人中随机选出 2人，则这 2人来自同一个家庭的概率为 Ð ；
若选出的 2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为 0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为 0.3，则游
戏成功的概率为 Ð .
14．在四边形
ABCD
中，
∠A=120∘, AC=1,
⃗
AB=2
⃗
DC , M
为
AD
中点. 记
⃗
AD=a ,
⃗
AB=b
，用
a , b
表示
⃗
BM =¿
Ð ；若
⃗
AN =1
4
⃗
DC
，则
⃗
ND ⋅
⃗
BM
的最大值为 Ð .
15．设
a∈R
，函数
f
(
x
)
=
{
2∣x+a∣, x <0,
∣x2−5x+4∣, x≥ 0.
)
若函数
y=f
(
x
)
−
|
ax
)
恰有 4个零点，则实数
a
的取值范
围为 Ð .
三、解答题（本大题共 5小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分 14 分）
在锐角
△ABC
中，角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c
. 已知
a=3, b=2❑
√
2,△ABC
的面积为 3.
（Ⅰ）求
c
的值；
（Ⅱ）求
sin B
的值；
（Ⅲ）求
sin
(
2B −C
)
的值.
17．（本小题满分 15 分）
如图，在直三棱柱
ABC − A1B1C1
中，
AC ⊥BC , AC=BC=2
,
C C1=3
,
F
为
B1C1
的中点，点
D , E
分别
在棱
A A1
和棱
C C1
上，且
AD=1
,
CE=2
.
（Ⅰ）求证：
A1F/¿
平面
BDE
;
（Ⅱ）求平面
AC C1A1
与平面
BDE
夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点
A1
到平面
BDE
的距离.
18．（本小题满分 15 分）
已知椭圆
x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>0
)
的左、右焦点分别为
F1, F2
，点
P
的坐标为
(
a , b
)
，且线段
OP
的长是长轴长的
❑
√
7
4
.
（Ⅰ）求椭圆的离心率
e
;
（Ⅱ）若直线
P F2
交椭圆于
M , N
两点（
M
在
N
的上方），过
F2
作
PN
的垂线
l
交
y
轴于点
D
，若线段
D F2
延长线上的一个点
H
满足
△DPH
的面积为
4❑
√
3
3c❑2
.
（ⅰ）证明四边形
DPHN
是菱形；
（ⅱ）若
|
D F2
)
=4
3
，求椭圆的方程.
19．（本小题满分 15 分）
已知
{an}
为等差数列，
{bn}
是公比为 2的等比数列.
a1=1
，且
a3− b1=1, a4− b1=b3− a6
.
（Ⅰ）求数列
{an}
和
{bn}
的通项公式；
（Ⅱ）若
ck=
{
(
ak−1
ak
)
bk, k ,为奇数
(
a2n+1− k +1
a2n+1− k
)
b2n+1−k , k .为偶数
)
（ⅰ）当
k
为奇数，求
ck+c2n+1− k
；
（ⅱ）求
∑
k=1
❑❑2nck
.
20．（本小题满分 16 分）
已知
f
(
x
)
=x+ax ⋅ln x
(
a∈R
)
，
（Ⅰ）当
a=2
时，求
f
(
x
)
在点
(
e , f
(
e
)
)
处的切线方程；
（Ⅱ）讨论
f
(
x
)
的单调性；
（Ⅲ）若函数
f
(
x
)
存在极大值，且极大值为 1，求证：
f
(
x
)
≤ e− x +x2
.
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