上海市宝山区2024届高三下学期二模试题 数学 含答案
2023 学年第二学期期中
高三年级数学学科教学质量监测试卷
考生注意：
1．本试卷共 21 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6题每题 4分，第 7～12 题每题 5分），
要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．
1. 抛物线 的焦点坐标为______.
2. 已知 ，则 _______.
3. 将 化为有理数指数幂的形式为_______.
4. 已知向量
⃗
a=
(
2m, 2
)
，
⃗
b=
(
1, m+1
)
，若
⃗
a⋅
⃗
b=10
，则实数
m=
.
5. 设实数 满足 ，则 .
6. 有一组数从小到大排列为： ， ， ， ， ， . 若其极差与平均数相等，则这组数
据的中位数为_______.
7. 已知集合 ，且 ，则实数 的值为 .
8. 在数列 中， ，则 _______.
9. 某公司为了了解某商品的月销售量 （单位：万件）与月销售单价 （单位：元/件）之
间的关系，随机统计了 个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：
月销售单价 （元/件） 10 1
520 2
530
月销售量 （万件） 11 1
08 6 5
由表中数据可得回归方程 中 ，试预测当月销售单价为 元/件时，月
销售量为 万件.
10. 已知双曲线 ，以双曲线的右顶点 为圆心， 为半径作圆，圆
与双曲线的一条渐近线交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为_____
__.
11. 某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位 的正上方安装
探照灯对警戒区域进行探查扫描.
假设 1：警戒区域为空旷的扇环形平地 ；
假设 2：视探照灯为点 ，且距离地面 米；
假设 3：探照灯 照射在地面上的光斑是椭圆.
当探照灯 以某一俯角从 侧扫描到 侧时，记为一次扫描，此过程中照
射在地面上的光斑形成一个扇环 . 由此，通过调整 的俯角，逐次扫描形
成扇环 、 、 .
第一次扫描时，光斑的长轴为 ， 米，此时在探照灯 处测得点 的俯
角为 （如下右图）.记 ，经测量知 米，且 是公差约为
米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.
12. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量 、 满足： ， ，且存在实
数 ，使得 成立，则由 构成的空间几何体的体积是 .
二、选择题（本大题共有 4题，满分 18 分，第 13～14 题每题 4分，第 15～16 题每题 5
分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内
的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.
13. 已知 ，则 （ ）.
A
． B． C． D．
14. 已知随机变量 服从正态分布 . 若 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
15. 已知直线 与平面 ，则下列命题中正确的是 （ ）.
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
16. 数列 中， 是其前 项的和，若对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得
，则称数列 为“某数列”. 现有如下两个命题：
① 等比数列 为“某数列”；
② 对任意的等差数列 ，总存在两个“某数列” 和 ，使得 .
则下列选项中正确的是 （ ）.
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
三、解答题（本大题共有 5题，满分 78 分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
在 中，角 的对边分别为 ，
已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的最小值，并判断此时 的形状.
18．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
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