宁夏银川市唐徕中学2023-2024学年高三上学期12月月考试题 数学（理） PDF版含答案
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高三数学试卷（理科）第 1页 共 2页
银 川 市 唐 徕 中 学
2023～2024 学年度第一学期 12 月月考
高三年级数学试卷（理科）
（考试时间：120 分钟，满分：150 分）
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知集合
}43|{ 2 xxxA
，
}22|{ x
xB
，则
)( ACR
∩
B
=（ ）
A. [-1，2) B.（4，+
) C.（1，4）D.（1，4]
2.
3
21
32
i
i
的虚部为（ ）
A.
5
1
B.
5
3
C.
5
1
D.
5
3
3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 6
B. 12
C. 10
+12 D. 20
+12
4. 已知数列
}{ n
a
的前
n
项和为
n
S
，若
1
1a
，
*
12Nnaa nn
，则
5
S
（ ）
A. 16 B. 25 C. 29 D. 32
5. 已知数列
}{ n
a
为等比数列，
8
1062 aaa
，则
93 aa
（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
6. 已知
2
1
2
1 yx
，则（ ）
A.
0)1( yx
B.
1
1
log
1
1
log 2
2
2
2
yx
C.
yx )
3
1
()
3
1
(
D.
xy yx
7. 已知角
的终边在直线
xy 2
上，则
2cos
2sin1
（ ）
A. -3 B. 3 C.
3
1
D.
3
1
8. 已知双曲线
1: 2
2
2
2
b
x
a
y
C
（
0a
，
0b
）的离心率为
2
5
，则双曲线
C
的渐近线方程为（ ）
A.
xy 2
B.
xy 2
1
C.
xy 4
1
D.
xy 4
9. E 为△ABC 的边 AC 的中点，F为线段 BE 上靠近点 B的三等分点，则 =（ ）
A.
3
1
+
3
2
B.
3
4
+
3
2
C.
6
5
+
6
1
D.
3
2
+
3
1
10. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成
的图形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义：能够将圆 O的周长和
面积同时等分成两部分的函数称为圆 O的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（ ）
A. 对于任意一个圆 O，其“太极函数”有无数个
B. 函数
xxxf 3)( 3
可以是某个圆的“太极函数”
C. 正弦函数
xy sin
可以同时是无数个圆的“太极函数”
D.
)(xfy
是“太极函数”的充要条件为“
)(xfy
的图象是中心对称图形”
11. 已知在△ABC 中，角 A和角 B的角平分线交点为 M，M到AB 的距离为 2，△ABC 的周长为
4，C=
3
，则
CABC
=（ ）
A.
3
38
B.
3
316
C.
3
38
D.
3
316
12. 对于函数
xaexf xln)(
（
Ra
），有下列四个论断：
①
)(xf
是增函数；②
)(xf
是奇函数；③
)(xf
有且仅有一个极值点；④
)(xf
的最小值为
e
，
若其中恰有两个论断正确，则
a
（ ）
A.
e
B.
e
C. 1 D. -1
{#{QQABSQaUogAgAABAABgCUQEKCEMQkAGCAAoOhBAAMAAAgQNABAA=}#}
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二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 A（-1，0），B（4，0），C（0，2），则△ABC 外接圆的方程为 .
14. 已知
x
，
y
满足
02
033
022
x
yx
yx
，则
yxZ 3
1
2
1
的最大值为 .
15. 已知抛物线 C：
xy 8
2
，直线
l
交C于A（
1
x
，
1
y
），B（
2
x
，
2
y
）两点，且满足 =0，
（其中 O为坐标原点，A，B异于 O点），则直线 AB 恒过定点 ，△AOB 面积的
最小值为 .
16. 已知函数
)(xf
满足下列条件：
①
)(xf
是
xy sin
经过图像变换得到的；
②
Rx
，
1)
3
()(
fxf
且
2)
12
()
12
( xfxf
③函数图像过点（0，-2）
请写出符合上述条件的一个函数
)(xf
的解析式 .
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分)
17．(本小题满分 12分)
已知△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为
cba ,,
，
3b
，
ca
，且
12cos2sin3 AA
，
（1）求 A的大小；
（2）若
BCcAa sin34sinsin
，求△ABC 的面积.
18.（本小题满分 12 分）
已知各项均为正数的数列
}{ n
a
满足
1
1a
，
2
2a
，且
2
12 2 nnn aaa
（
*
Nn
）.
（1）若
n
n
na
a
b1
，求证
}{ n
b
是等比数列；
（2）求
}{ n
a
的通项公式.
19.（本小题满分 12 分）
如图，三棱锥 D——ABC 中，AB⊥平面 BCD，E为AD 的中点，
S△ACD=
22
，AB=BC=2，平面 ACD⊥平面 ABC，
（1）求证：BC⊥CD；
（2）求二面角 B—CE—D 的正弦值.
20.（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系
xoy
中，椭圆
1: 2
2
2
2
b
x
a
y
C
（
0 ba
）的上焦点为 F，且 C上的点到点 F
的距离的最大值与最小值的差为
32
，过点 F且垂直于
y
轴的直线被
C
截得的弦长为 1.
（1）求
C
的方程；
（2）已知直线
l
：
2 kxy
与
C
交于 M，N两点，与
y
轴交于点 P，若
3:1:
FPMFPN SS
，
求
k
的值.
21.（本小题满分 12 分）
已知
xxxf ln)(
，
（1）求
)(xf
的单调区间与最大值；
（2）是否存在正整数
a
，使得
01ln2
2 axxex x
，对一切
0x
恒成立？若存在，求出
a
的最大值；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系
xoy
中，曲线 C：
ay
ax
sin1
cos
（
a
为参数，且
a0
），以坐标原点
为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 C的普通方程和极坐标方程；
（2）设点 P是曲线 C上一动点，点 M在射线 OP 上，且满足｜OP｜•｜OM｜=4，求点 M的
轨迹方程.
23．[选修 4—5：不等式选讲]
已知函数
|3|)( xxf
.
（1）解不等式
8|3|)( xxf
；
（2）若
|)9||3(|)( xxmxf
在（
，
）内恒成立，求实数
m
的最小值.
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